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§9 振动

一、简谐运动

1. 简谐振动的特征

　　动力学特征：$F=-kx$
　　运动学特征：$\cfrac {{\rm d}^2x}{{\rm d}t^2}+\omega^2x=0$
　　　　运动方程: $x=A\cos(\omega t+\varphi)$
　　能量特征: $E=E_k+E_p=\cfrac 1 2kA^2$

计算要求：★判断一个物体的运动是否为简谐振动；若是，建立简谐运动方程

2. 速度和加速度

　　$v=\cfrac {{\rm d}x} {{\rm d}t}=-\omega A \sin(\omega t+\varphi)$ $v_m=\omega A$
　　$a=\cfrac {{\rm d} ^2 x}{{\rm d}t^2}=-\omega ^2A \sin(\omega t+\varphi)$ $a_m=\omega^2A$

3. 描述简谐振动的特征量

（1）周期、频率、圆频率，由振动系统本身的性质所决定
$\omega=2\pi\nu=\cfrac {2\pi} T$

　　　　弹簧振子：$\omega=\sqrt{\cfrac k m }$
　　　　单摆：　　$\omega=\sqrt{\cfrac g l }$
　　　　复摆：　　$\omega=\sqrt{\cfrac {mgl} J }$

（2）振幅$A$，初相位$\varphi$ , 由初始条件决定
　　$\left. \begin{array}{l} x_0=A\cos\varphi \\ v_0=-A\omega\sin\varphi \end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A=\sqrt{x_0^2+(\cfrac {v_0} \omega)^2} \\ \tan\varphi=-\cfrac {v_0}{\omega x_0} \end{array} \right.$

　　（不用记右方两式，列出左边两式后解出）

计算要求：★★联系谐振动的运动方程、初始值和振动曲线解决有关问题
　　　　　1）由运动初始条件或振动曲线，确定运动方程；2）由振动系统参数(质量等)确定振动周期，写出运动方程；3）由运动方程讨论速度、能量等特征
典型习题：三、2, 3

4. 表示方法

（1）数学解析法：运动方程 $x=A\cos(\omega t+\varphi)$

（2）旋转矢量图示法
　　任何一个简谐运动都可看作是一个旋转矢量在振动方向上的投影。可借助旋转矢量矢端的圆周运动来理解简谐振动中各物理量:
　　　　

　　利用旋转矢量可快速判断振动的曲线图示
　　利用旋转矢量，可由初始条件确定初始相位的取值区间
　　利用旋转矢量，可快速判定两振动状态之间的时间差

计算要求：★★借助旋转矢量法，可简化相位关系的分析过程

（3）时间-位移曲线
　　

　　左图为初始时刻旋转矢量，当其按角速度$\omega$旋转时，按时刻将矢量端点在$x$轴上的投影值在$x-t$图中描出，即为时间-位移曲线。

5. 简谐运动的合成

（1）同方向同频率两个简谐振动的合成 — 仍是简谐振动
　　分振动： $x_1=A_1\cos(\omega t+\varphi_1)$ 　　$x_2=A_2\cos(\omega t+\varphi_2)$
　　合振动： $x=A\cos(\omega t+\varphi)$
　　合振幅： $A=\sqrt {A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)}$
　　初相位： $\varphi =\arctan \cfrac {A_1\sin \varphi_1+A_2\sin \varphi_2}{A_1\cos \varphi_1+A_2\cos\varphi_2}$
　　或用旋转矢量法解决:
　　

计算要求：★合振动的计算
典型习题：三、7 1)合振动的计算 2)振动加强、减弱条件

（2）同方向不同频率简谐振动的合成 — 不是简谐振动
　　当频率很大，但频差很小时，产生拍频现象。
　　拍频 $\nu=|\nu_2-\nu_1|$

（3）两个互相垂直的同频率简谐振动的合成 － 椭圆形运动
　　轨迹方程：
　　$\biggl (\cfrac x {A_1}\biggl )^2+\biggl (\cfrac y {A_2}\biggl )^2-\cfrac {2xy\cos(\varphi_2-\varphi_1)}{A_1A_2}=\sin^2(\varphi_2-\varphi_1)$

　　椭圆的性质（方位、长短轴、左右旋）在$A_1、A_2$确定之后, 主要决定于位相差$\Delta\varphi=\varphi_2-\varphi_1$ 。
　　$\Delta\varphi=0$或 $\Delta\varphi=\pi$ 时，椭圆轨迹退化为直线轨迹（椭圆短轴为$0$）

（4）两个互相垂直的不同频率简谐振动的合成
　　频率成整数比时，能形成稳定的利萨如图形。

二、阻尼振动、受迫振动和共振

（1）阻尼振动：振幅不断减小，能量不断损失。
　　相关概念：过阻尼、临界阻尼、弱阻尼。

（2）受迫振动：在驱动力作用下，系统发生的运动。
　　达到稳定状态后，振动频率为驱动力的频
　　共振：驱动力频率接近振动系统固有频率时，受迫振动振幅达到最大值。

§10 波动

一. 机械波

1. 产生的条件：波源与弹性介质

2. 描述波动的物理量

　　1）波长$\lambda$ ；2）周期$T$ (频率$\nu$ ) ；3）波速$u$
　　波长由介质决定；周期（频率）由波源决定。
　　三者关系： $u=\lambda\nu=\cfrac \lambda T$

二、平面简谐波

1. 平面简谐波的表达式（波函数、波动方程）

（1）若坐标原点振动方程为$y=A\cos(\omega t+\varphi)$ ，波向$x$轴正向传播，则波动方程为:
　　$\begin{align} y &=A\cos[\omega(t-\cfrac x u)+\varphi] \\ &=A\cos(\omega t-\cfrac {2\pi} \lambda x+\varphi)\\&=A\cos[2\pi(\cfrac t T-\cfrac x \lambda)+\varphi] \end{align}$

　　由来：1）$x$处重复的是原点O在$t-\cfrac x u$时状态
　　2）$x$处的振动相位较O落后(数值小) $2\pi\cfrac x \lambda$

此两条作为已知某点振动方程，写另一点振动方程，或波动方程的依据。

（2）已知某点振动方程，写出波动方程的方法：
　　1）时间回溯法：替换振动方程中$t$为$t-\cfrac x u$ 。
　　2）相位落后法：在振动方程中，相位减去 $2\pi\cfrac x \lambda$。
　　“距离”中出现坐标变量$x$。使振动方程$y(t)$提升为波动方程 $y(x,t)$。

建议用“相位落后法”。遵循“沿传播方向，相位落后”。
明确传播方向后，视坐标轴方向，任意假设一个$x$点(通常画在$x$正轴上)，若$x$点在已知点传播“前方”，则相位减 $2\pi \cfrac {\scriptstyle \text{距离}} \lambda$，若$x$点在已知点传播“后方”，则相位加 $2\pi \cfrac {\scriptstyle\text{距离}} \lambda$。“距离”始终按正值去表达。

例如:上图中传播方向向右，但坐标正方向取为向左，已知点A振动方程时: 在$x$轴正向上任意标取个$x$点，$x$点在传播方向“前方”,相位减去$2\pi \cfrac {x_A-x} \lambda$ 。

若$x$点被标记在了已知点左方，则x点在传播方向“后方”，相位加上$2\pi \cfrac {x-x_A} \lambda$ 。得到的波动表达式与前一情形相同（结果与画图时标注位置无关，尽量将$x$点标注在传播“前方”，以便运用”沿传播方向相位落后“）

计算要求：★★已知某点振动方程，写出波动方程。已知波动方程，写某点的振动方程。

典型习题：三、3 振动波动综合练习:三、2

2. 平面简谐波的波形图

　　一般仅能画出某一时刻$t$的“波形”曲线。
　　由当前波形曲线，想象经过小段时间$\Delta t<<T$后的波形，能判断各点的振动方向
　　考察坐标原点的当前位移和振动方向，能判断$t$时刻相位$\omega t+\varphi$ 。

3. 平面简谐波的能量

（1）能量传播特点

　　1）任一时刻介质质元的动能等于势能，且相位相同。
　　在平衡位置时质元具有最大动能和势能，在振幅处动能和势能为零。

　　2）体积元总能量随时间作周期性变化，机械能不守恒。
　　波动过程中，沿波的传播方向，质元不断地通过振动由“上游”的质元获得能量，又不断地把能量传播给“下游”的质元。

（2）平均能流
　　单位时间内垂直通过介质中某一面积的能量。
　　$\overline P=\cfrac 1 2\rho A^2\omega ^2\cdot uS$

　　其中$\cfrac 1 2\rho A^2\omega ^2$为平均能量密度(对时间平均后的单位体积内的能量）
　　$u$为波速、$S$ 为垂直截面面积。
　　平均能流类似“功率”，单位为$\rm W$(瓦)

（3）能流密度(波的强度)
　　单位时间、垂直通过单位面积的能量，衡量波强弱的物理量。
　　$I=\cfrac {\overline P}{S}=\overline w\cdot u=\cfrac 1 2\rho A^2\omega^2\cdot u$

　　波的强度正比于振幅的平方。

三、惠更斯原理和波的叠加原理

1. 惠更斯原理

2. 波的叠加原理

3. 波的干涉

（1）现象 － 几列波叠加形成的强度的稳定分布的现象。
（2）相干条件
　　振动方向相同、频率相同、相位相同或相位差恒定
（3）干涉相长和干涉相消的条件
　　1）取决于两分振动的相位差 $\Delta \varphi=-2\pi \cfrac {r_2-r_1} \lambda$
　　 　　$\varphi_2-\varphi_1$是两波源的相位差
　　 　　$r_2-r_1$是指定点与两波源的距离之差（波程差$\delta$ ）

　　$\Delta \varphi=\left\{ \begin{array}{ll} 2k\pi &k=0,\pm1,\pm2,\ldots&\text{干涉相长} \\ (2k+1)\pi &k=0,\pm1,\pm2,\ldots & \text{干涉相消}\end{array} \right.$

　　2）当$\varphi_2=\varphi_1$时，判断条件可用波程差表示为：

　　$\delta =\left\{ \begin{array}{ll} k\lambda &k=0,\pm1,\pm2,\ldots&\text{干涉相长} \\ (2k+1)\cfrac \lambda 2 &k=0,\pm1,\pm2,\ldots & \text{干涉相消}\end{array} \right.$

下一章“光的干涉”的理论基础

四、驻波

1. 驻波

　　振幅、频率相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加形成的一种特殊的干涉现象.

2. 驻波方程

　　沿$x$正向传播的$y_1=A\cos(\omega t-\cfrac {2\pi} \lambda x)$ 和沿$x$轴负向传播的$y_2=A\cos(\omega t+\cfrac {2\pi} \lambda x)$叠加后，形成驻波，其驻波方程为:
　　$y=y_1+y_2=2A\cos2\pi\cfrac x \lambda\cos\omega t$

备注: 1）驻波方程需依据实际的正向、反向波函数叠加确定，以上方程仅是特例。
　　2）叠加运算时用三角函数和差化积公式：
$\cos \alpha+\cos \beta=2\cos \cfrac {\alpha +\beta} 2 \cos\cfrac {\alpha - \beta} 2$

3. 驻波的特征

　　具有波节、波腹，相邻波节(波腹)距离$\cfrac \lambda 2$
　　按驻波方程中坐标$x$所在$\cos$函数讨论波节、波腹的位置。

五. 声波

　　声波的频率范围
　　声强 $I=\cfrac 1 2\rho A^2 \omega^2$
　　声强级 $L=\lg \cfrac I {I_0}$

六. 多普勒效应

（1）现象

　　当波源和观察者之间有相对运动时，接收频率将与发射频率不等。
　　相互接近时,接收到的频率高于波源频率。
　　只有波源和观察者相对静止时，接收频率和发射频率才相等。

（2）频率关系　 $\nu ' =\cfrac {u\pm\nu_o}{u\mp \nu_s}\nu$

　　$\nu$ ：发射频率－ 波源振动的频率
　　$\nu'$：接收频率 － 单位时间内观测者接收到的振动次数或完整波数.
　　$u$ ：波速， $\nu_o$：观察者速率，$\nu_s$ ：波源速率

　　$\nu_o$前符号: 观察者向波源运动取“＋”，远离取“－”
　　$\nu_s$前符号: 波源向观察者运动取“－”，远离取“＋”

备注：对方接近时，取上栏符号，向对方远离时，取下栏符号。判断“接近”/“远离”时，假定对方未动

或：与$u$同方向时，取“－”号，与$u$反方向时，取“＋”号，如下图）
　　

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§7 恒定磁场

一、理论基础：毕奥-萨伐尔定律

1. 毕奥-萨伐尔定律 $\vec B= \cfrac {\mu_0} {4\pi }\int_l \cfrac {I{\rm d}\vec l\times \vec e_r}{r^2}$

　　$\mu_0=4\pi\times 10^{-7}\;\rm N\cdot A^{-2}$为真空中磁导率
　　电流元$I{\rm d}\vec l$在位置 $\vec r$产生${\rm d}\vec B$ : $d\vec B =\cfrac {\mu_0} {4\pi } \cfrac {I{\rm d}\vec l\times \vec e_r}{r^2}$，整段电流在位置$\vec r$ 产生$\vec B$ : $\vec B=\int_l {\rm d}\vec B$ 。

2. 常用结论

（1）载流直导线的磁感强度

1）有限长载流直导线的磁感应强度
　　
　　$B=\cfrac {\mu_0I} {4\pi r_0} (\cos\theta_1-\cos\theta_2)$

2）无限长载流直导线的磁感强度 $B=\cfrac {\mu_0 I} {2\pi r_0}$

另: 半无限长直导线端面上 $B=\cfrac {\mu_0 I} {4\pi r_0}$

（2）圆形载流导线圆心处磁感强度 $B=\cfrac {\mu_0 I} {2 R}$

（3）直螺线管内部 $B=\mu_0nI$

另：直螺线管端面 $B=\cfrac 1 2 \mu_0nI$

计算要求：★★★ 由以上常用结论，用叠加原理、微元法计算磁感强度
典型习题：三、2，3

3. 拓展：运动电荷的磁场

　　运动中的电荷，可等效为电流或电流元后，按恒定电流估计其磁场

（1）运动电荷在空间产生的磁场，形式上与毕奥-萨伐尔定律相似 $\vec B=\cfrac {\mu_0} {4\pi} \cfrac {q\vec v \times \vec e_r}{r^2}$

（2）圆周运动的电荷或转动的带电圆环，可等效为环形电流$I=\cfrac q T$ ，$T$是圆周运动周期

二、磁场的性质

0. （曲面$S$上的）磁通量　$\it \Phi_m=\int_S \vec B\cdot {\rm d} \vec S$　

计算要求：磁通量的定义、计算。磁通量的计算，常融合在下一章电磁感应相关计算中。
典型习题：三、6

1. 磁场高斯定理　 $\it \Phi_m= \oint_S \vec B\cdot {\rm d} \vec S=0$

　磁感应强度矢量在闭合曲面上的通量为零
　　磁场高斯定理说明：磁场是无源场

2. 安培环路定理 　　$\oint_l \vec B\cdot {\rm d} \vec l=\mu_0\sum \limits_{i=1}^n I_i$

　　磁感应强度矢量在闭合路径$l$上的环流，等于路径所包围电流代数和的$\mu_0$倍
　　磁场的安培环路定理表明：磁场是涡旋场

计算要求：★★★用安培环路定理计算具备对称性的磁场的磁感强度
典型习题：三、 4,5,6

三、磁场对电荷、电流的作用

1. 对运动电荷的作用：沦仑兹力 $\vec F_m=q\vec v\times \vec B$

　　推广：带电粒子在电场和磁场中的受力

　　$\vec F=q\vec E+q\vec v\times \vec B$

　　示例1：运动电荷在均匀磁场中作螺线运动，其回旋半径、回旋周期、螺距为:

　　$R=\cfrac {mv_{\bot}} {qB}$ ，$T=\cfrac {2\pi R}{v_{\bot}}=\cfrac {2\pi m}{qB}$ ，$h=\cfrac {2\pi m}{qB}v_{\scriptscriptstyle //}$

　　示例2：霍尔效应：磁场中，导体中载流子受到洛伦兹力，向导体侧面累积，形成电势差。
　　霍尔电势差: $U_H=R_H\cfrac {BI}d=\cfrac 1 {nq}\cfrac {BI} d$

　　霍尔效应可用于实验判定半导体类型。
　　N型半导体，载流子是电子（负电荷）
　　P型半导体，载流子是“空穴”（正电荷）
　　同一场景，采用$P$ 型半导体或$N$型半导体时，霍尔电势差符号相异。电势高低，需根据载流子受力、累积方位来确定。

2. 对电流的作用力：安培力　$\vec F=\int_lI{\rm d}\vec l\times \vec B$

　　安培定律：电流元在磁场中受力为：${\rm d}\vec F=I{\rm d}\vec l\times \vec B$，整段电流，受力为：$\vec F=\int_l{\rm d}\vec F$

　　均匀磁场中的结论：
　　1）任意空间载流导线在均匀磁场中所受的力，与其在垂直磁场平面上的“投影导线”所受的磁场力相同；2）任意(垂直于磁场的)平面载流导线在均匀磁场中所受的力，与其始点和终点相同的载流直导线所受的磁场力相同；3）安培力的功，可用$W=IB\Delta S$ 快速计算， $\Delta S$是导线“横扫”过的面积。

计算要求：★★ 载流导线在磁场中的受力计算
典型习题：三、7,8

3. 对载流线圈的作用：磁力矩 　$\vec M=\vec m\times\vec B$

　　
　　$\vec m$ ：线圈的磁矩，是（通电）线圈自身属性：$\vec m=NIS\vec e_n$；$N$：线圈的圈数（匝数)，$S$：线圈的面积，按电流$I$ 绕向，按右手螺旋定则，确定线圈法向$\vec e_n$。

　　磁力矩试图使线圈的磁通量最大化。
　　磁力矩做功：$W=\int_{\theta_1}^{\theta_2}-M{\rm d}\theta$

备注：刚体力学中： $W=\int_{\theta_1}^{\theta_2}M{\rm d}\theta$，$\theta$ 是转动角坐标。与磁力矩大小$M=ISB\sin\theta$中 $\theta$含义不同。采用后者来表达的话， $W=\int_{\theta_1}^{\theta_2}-M{\rm d}\theta$
例: 由力矩最大位置转到力矩为零位置，磁力矩的功为： $W=\displaystyle \int_{\frac \pi 2}^{0}-ISB\sin \theta \,{\rm d}\theta=ISB=I\Delta \it \Phi$，为正功

　　磁力矩做功，可表达为$W=I\Delta \it \Phi$ ， $\Delta \it \Phi$是磁通量增量

计算要求：★ 载流线圈在磁场中的力矩计算

典型习题：三、8, 9

四、磁介质

1. 磁介质的种类

　　1）顺磁质：$\mu_r>1$ ，增强原磁场；2）抗磁质：$\mu_r<1$ ，增强原磁场；3）铁磁质：$\mu_r>>1$ ，大大增强原磁场

2. 磁介质的磁化

　　顺磁质固有磁矩的取向磁化或抗磁质附加磁矩的产生都使磁介质表面（或内部）出现磁化电流。
　　磁化强度矢量：$\vec M=\cfrac {\sum \vec m}{\Delta V}$

　　磁化电流密度：$\vec j'=\vec M\times \vec n$

3. 磁介质中的安培环路定理

（1）磁场强度 $\vec H$
一般情况 $\vec H=\cfrac {\vec B} {\mu_0}-\vec M$
在线性各向同性介质中 $\vec H=\cfrac {\vec B}{\mu}$

　　即 $\vec B=\mu\vec H=\mu_0\mu_r\vec H$

（2）介质中安培环路定理： $\displaystyle \oint _l\vec H\cdot {\rm d}\vec l=\sum \limits_{\text{内}}I$

计算要求：★★ 含介质时，对称磁场的计算
典型习题：三、10

§8 电磁感应 电磁场

〇、物理量准备：电流、电流密度、电动势

1. 电流(强度)$I$ : 单位时间内通过导体横截面的电量　$I=\cfrac {{\rm d}q} {dt}$

2. 电流密度(矢量)　 $\vec j$

　　大小:单位时间内过(垂直于正电荷运动方向的)单位面积的电荷,
　　方向: 该点正电荷运动方向

3. 电流密度与电流的关系

　　电流强度是电流密度矢量的“通量” ：$I=\displaystyle \int_S \vec j\cdot {\rm d}\vec S$

4. 电源

　　逆电势方向“搬运”电荷的装置，将其他形式能量转换为电势能的装置。

　　电源内，靠“非静电力” $\vec F_k$ “搬运”电荷。

　　称$\vec E_k=\cfrac {\vec F_k}{q}$为“非静电力”场强。

5. 电动势　$\mathscr E= \int_-^+\vec E_k\cdot{\rm d}\vec l$

　　衡量电源转换能量大小的物理量，反映了电源中非静电力做功的本领
　　

　　数值等于将单位正电荷自负极移到正极时，非静电力所做的功

6.电动势的方向

　　由负极经内电路指向正极, $\vec E_k$ 的方向

一、理论基础：法拉第电磁感应定律

1. 法拉第电磁感应定律 　$\mathscr E_i=-\cfrac {{\rm d}\it \Phi_m}{{\rm d}t}$

2. 楞次定律

　　闭合回路中感应电流的方向，总是使得它所激发的磁场在回路中的磁通量,阻碍（引起感应电流的）磁通量的变化。

计算要求：★★★ 计算(闭合导线)感应电动势、感应电流
典型习题：三、1,2,3,6

二、动生电动势和感生电动势

1. 动生电动势

　　磁场分布不随时间变化，导线在磁场中“切割”磁力线时的电动势

　　非静电力: 沦仑兹力

　　计算式: $\mathscr E_i= \int_l (\vec v\times\vec B)\cdot{\rm d}\vec l$

2. 感生电动势

　　磁场随时间变化，产生感生电场。感生电场在路径上形成的电动势

　　非静电力: 感生电场的电场力

　　计算式: $\mathscr E_i=\displaystyle \int_l \vec E_k\cdot{\rm d}\vec l$ 　　$\vec E_k$为感生电场场强

计算要求：★★ 计算(分段导线上)感应电动势

典型习题：三、4,5

三、感生电场

　　变化的磁场产生涡旋的感生电场。
　　

　　$\oint_l\vec E_k\cdot{\rm d}\vec l=-\int_S \cfrac {\partial \vec B}{\partial t}\cdot {\rm d}\vec S$
　　（上式直接来源于法拉第电磁感应定律）
　　可用于柱对称感生电场的计算。
　　

　　例如: 当圆柱空间内磁场均匀，变化率为$\frac {{\rm d}B}{{\rm d}t}$时，选同心圆环为积分路径，则有
　　$E_k\cdot2\pi r=\cfrac {{\rm d}B}{{\rm d}t}\cdot \pi r^2$

计算要求：★柱对称分布感生电场的计算

四、自感电动势和互感电动势

1. 自感电动势

　　$\mathscr E_L=-L\cfrac {{\rm d}I}{{\rm d}t}$

2. 自感系数的计算

　　假设电流为$I$，计算其产生的磁通量$\it \Phi$ ，则：$L=\cfrac {\it \Phi} {I}$

　　（$L$与线圈实际有无电流无关）

3. 互感电动势

　　$\mathscr E_{12}=-M\cfrac {{\rm d}I_2}{{\rm d}t}$

　　$\mathscr E_{12}$为线圈2中电流$I_2$变化在线圈1中产生的电动势

4. 互感系数的计算

　　假设线圈1中电流为$I$，计算其在线圈2中产生的${\it \Phi}_{21}$，则$M=\cfrac {{\it \Phi}_{21}} {I_1}$

　　（$M$与线圈1，2中，实际有无电流无关）

计算要求：★自感系数的计算
　　　　　★互感系数的计算
典型习题：三、8

五、磁场的能量

1. 自感线圈的能量　$W_m=\cfrac 1 2LI^2$

2. 磁场的能量密度　$w_m=\cfrac 1 2 \cfrac {B^2} \mu$

3. 磁场的能量　$W_m= \int_Vw_m{\rm d}V$

备注：磁场储能的计算方法: 1）若已计算$B$，可用空间积分求和，计算磁场。2）若已计算自感系数$L$ ，按$W_m=\frac 1 2LI^2$计算储能。

计算要求：★磁场储能计算

六、电场和磁场的联系

1. 变化的磁场产生电场: 感生电场

　　$\oint_l\vec E_k\cdot{\rm d}\vec l=-\int_S \cfrac {\partial \vec B}{\partial t}\cdot {\rm d}\vec S$

2. 变化的电场产生磁场: 位移电流

　　$I_d=\cfrac {{\rm d}\it \Psi}{{\rm d}t}$ 　　$\vec j_d=\cfrac {\partial \vec D}{\partial t}$

　　麦克斯韦电磁理论的两条基本假设之二：变化的电场，能等效为位移电流，产生磁场。

　　包含位移电流的安培环路定理：
　　$\oint_l \vec H \cdot{\rm d}\vec l=\int_S(\vec j_d+\cfrac {\partial \vec D}{\partial t})\cdot {\rm d}\vec S$

3. 电磁场的基本方程

　　$\oint_S \vec D \cdot{\rm d}\vec S=\int_V\rho{\rm d}V=q$ 　　　自由电荷产生发散的电场。

　　$\oint_l\vec E_k\cdot{\rm d}\vec l=-\int_S \cfrac {\partial \vec B}{\partial t}\cdot {\rm d}\vec S$　　　变化磁场产生涡旋的电场。

　　$\oint_S \vec B \cdot{\rm d}\vec S=0$　　　　　　　　　磁场不发散。

　　$\oint_l \vec H \cdot{\rm d}\vec l=\int_S(\vec j_d+\cfrac {\partial \vec D}{\partial t})\cdot {\rm d}\vec S$　传导电流和变化电场产生涡旋的磁场。