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版次: 2024
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《大学物理》内容提要目录

§12 气体动理论

一、理想气体物态方程

1. 形式一　 $pV=\nu RT$

　　$\nu$(希腊字母/nu/)：气体的摩尔数(物质的量)，$\nu =\cfrac {m'}{M}=\cfrac N N_A$
　　$m'$:气体质量，$M$：气体的摩尔质量; (注：本章中， $m$已用于表达分子质量，故气体质量需用符号$m'$ )
　　$N$：气体分子个数，$N_A$：阿伏伽德罗常数 $N_A=6.022\times10^{23}\;\rm mol^{-1}$
　　$R$ :摩尔气体常量， $R=8.31 \; \rm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}$

2. 形式二　 $p=nkT$

　　$n$: 气体分子数密度
　　$k$ :玻耳兹曼常量，$k=\cfrac R {N_A}$，$k=1.38\times10^{-23}\;\rm J\cdot K^{-1}$ ，“分摊”到单个分子的“气体常量”。

计算要求：★已知部分参量(_p,V,T,n_等)，求气体的其他参量
典型习题：融合在其他计算题中

二、状态参量的微观解释

1. 压强公式　 $p=\cfrac 2 3 n\overline \varepsilon_k$

　　$\overline \varepsilon_k$ ：（$\varepsilon$希腊字母/epsilon/）气体分子的平均平动动能（$\overline \varepsilon_k=\cfrac 1 2m \overline{v^2}$），反映热运动的剧烈程度
　　压强的微观本质：大量分子对容器壁碰撞的统计平均效果

2. 温度公式　 $\overline \varepsilon_k=\cfrac 3 2kT$

　　温度是分子平均平动动能的量度

三、能量均分定理

1. 理想气体分子平均动能 　$\overline \varepsilon=\cfrac i 2kT$

　　$i$ :气体分子运动的自由度，由分子结构决定
　　对单原子分子 $i=3$
　　对双原子分子 $i=5$
　　对多原子分子 $i=6$

2. 理想气体内能公式　$E=\cfrac i 2\nu RT$　

计算要求：★★物态方程，压强公式、温度公式、内能计算式的综合运用
典型习题：三、3 热学综合练习:一、9

四、气体分子运动的速率分布

1. 速率分布的描述－速率分布函数　$f(v)=\cfrac {{\rm d}N}{N{\rm d}v}$

　　1）函数值的意义： $v$处，单位速率区间内，分子数占总数的百分比；　2）需满足的条件：归一化条件$\int^{\infty}0f(v){\rm d}v=1$；3）指定区间内分子数占总数的百分比$\frac {\Delta N} N=\int^{v_2}{v_1}f(v){\rm d}v$

2. 速率分布函数的应用 － 统计平均值的求法

　　已知$f(v)$ , 求$\varphi(v)$平均值的方法：
（1）$0 \to \infty$区间上的平均值 $\overline {\varphi(v)}=\int^\infty_0 \varphi(v)f(v){\rm d}v$；

（2）$v_1 \to v_2$区间上的平均值$\overline {\varphi(v)}=\cfrac {\int^{v_2}_{v_1} \varphi(v)f(v){\rm d}v} {\int^{v_2}_{v_1} f(v){\rm d}v}$。

计算要求：★★★对假想的分布函数_f(v)_，运用函数性质，确定待定系数、计算统计平均值
典型习题：三、6 热学综合练习 二、8

3. 麦克斯韦分子速率分布律

　　$f(v)=\cfrac {{\rm d}N} {N{\rm d}v}=4\pi(\cfrac m {2\pi kT})^{\frac 3 2}e^{-\frac {mv^2}{2kT}}v^2$

计算要求：★用麦克斯韦分布律函数计算小区间内分子数目
典型习题：三、4 热学综合练习 一、5

4. 分子速率的统计平均值

（1）最概然速率 $v_p=\sqrt{\cfrac{2kT}{m}}=\sqrt{\cfrac {2RT}{M}}$

　　最概然速率：速率分布函数$f(v)$最大值处所对应的速率。
　　气体在一定温度下，速率分布在最概然速率$v_p$附近单位速率区间内的相对分子数最多。　

（2）平均速率 $\overline v=\sqrt{\cfrac{8kT}{\pi m}}=\sqrt{\cfrac {8RT}{\pi M}}$

（3）方均根速率 $v_{rms}=\sqrt{\overline {v^2}}=\sqrt{\cfrac{3kT}{m}}=\sqrt{\cfrac {3RT}{M}}$
（4）大小比例：$v_p:\overline v:\sqrt{\overline {v^2}}=1.41 :1.60:1.73$

5．玻耳兹曼(能量)分布律

（1）玻耳兹曼分布律的常用形式　 $n=n_0e^{-\frac {\varepsilon_p} {kT}}$
　　$\varepsilon _p$：分子势能，$n_0$：势能零点处的分子数密度

（2）推论 － 重力场中粒子(分子)按高度的分布规律　 $n=n_0e^{-\frac {mgz} {kT}}=n_0e^{-\frac {Mgz} {RT}}$

（3）推论 － 重力场中气压公式 (等温条件下)　　$p=p_0e^{-\frac {mgz} {kT}}=p_0e^{-\frac {Mgz} {RT}}$

　　$p_0$: 重力势能零点处的压强

五、分子碰撞的统计描述

1. 平均碰撞次数　$\overline Z=\sqrt2 \pi d^2 \overline v n$

　　单位时间内，分子与其它分子发生碰撞的平均次数。
　　$d$ ：气体分子直径, $\pi d^2$：碰撞截面

2. 平均自由程　 $\overline \lambda =\cfrac 1 {\sqrt2\pi d^2n}$

　　分子连续两次碰撞间，走过的直线距离的平均值。

3. 二者联系

　　$\overline \lambda =\cfrac {\overline v}{\overline Z}$

计算要求：★平均碰撞次数、平均自由程的计算
典型习题：三、8

§13 热力学基础

一、热力学第一定律

1. 热力学第一定律　$Q=\Delta E+W$

　　吸收热量，$Q$为正；对外作功，$W$为正。
　　吸收的热量，一部分用于提升内能，另一部分用于对外作功。

2. 摩尔热容及热量的计算

（1）摩尔热容: $1\;\rm mol$物体温度升高$1\; \rm K$所需要的热量，与过程有关；
（2）$C_{V,m}$：定体摩尔热容，定体过程中： $Q=\nu C_{V,m}(T_2-T_1)$ ；
（3）$C_{p,m}$：定压摩尔热容，等压过程中: $Q=\nu C_{p,m}(T_2-T_1)$；
（4）$C_{V,m}$、 $C_{p,m}$关系: $C_{p,m}=C_{V,m}+R$

3. 体积功的计算　$W=\int^{V_2}_{V_1}p{\rm d}V$

（1）常用结论：
　　等压过程的体积功 $W=p(V_2-V_1)$；
　　等温过程的体积功 $W=\nu RT\ln\cfrac {V_2} {V_1}$
（2）特例：“自由膨胀”过程（是非静态过程，不遵从以上积分式） $W=0$

4. 内能增量 $\Delta E$

　　$\Delta E=\nu C_{V,m}(T_2-T1)$

　　因内能变化仅取决于始末状态的温度变化，故可沿用等体过程中热量的计算式来计算任意 $T_1\to T_2$过程的内能增量。

计算要求：★热力学第一定律及其应用
典型习题：融合在综合习题中

二、(准静态)等值过程、(准静态)绝热过程

1. 过程方程

　　过程方程给出了特定过程中，气体状态参量之间的变化联系。

（1）等体过程 $\cfrac p T =C$

（2）等压过程 $\cfrac V T=C$

（3）等温过程 $pV=C$

（4）绝热过程 $pV^\gamma=C_1$
　　由物态方程，绝热过程方程还可变化为： $\begin{cases} V^{\gamma-1}T=C_2 \\p^{\gamma-1}T^{-\gamma} =C_3 \end{cases}$
　　其中 : 比热容比，C代表常数

2. 热一律在(准静态)等值过程、(准静态)绝热过程中的应用

	热量$Q$	内能增量 $\Delta E$	功 $W$
等体 过程	$\nu C_{V,m}{T_2-T_1}$	$\nu C_{V,m}{T_2-T_1}$	0
等压 过程	$\nu C_{p,m}{T_2-T_1}$	$\nu C_{V,m}{T_2-T_1}$	$p(V_2-V_1)$ $\nu R(T_2-T1)$
等温 过程	$\nu RT\ln\cfrac {V_2} {V_1}$	0	$\nu RT\ln\cfrac {V_2} {V_1}$
绝热 过程	0	$\nu C_{V,m}(T_2-T_1)$	$-\nu C_{V,m}(T_2-T_1)$

计算要求：★★由等值过程、绝热过程分段构成的复杂过程的总热量、总内能增量、总功的计算
　　　　　可综合考查热力学第一定律
典型习题：三、1

三、热力学第二定律

1. 热力学第二定律的两种表述

（1）开尔文表述：不可能从单一热源吸取热量使之完全变为有用的功而不产生其他影响。
（2）克劳修斯表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化。

　　热力学第二定律，表明功完全转变为热量、热量从高温物体传到低温物体等过程是不可逆过程。

2. 可逆过程和不可逆过程

　　可逆过程： 逆过程能重复正过程的每一状态, 且不引起其他变化的过程。
　　仅无摩擦的准静态过程可理想化为可逆过程。
　　实际热力学过程均是不可逆过程。

3. 熵

　　熵是组成系统的微观粒子的无序性(混乱度)的量度，影响着热力学过程进行的方向。
　　状态2和状态1之间熵的差值，等于任一连接状态1、2的可逆过程中热温比的积分值。

　　$S_2-S_1=\int^2_1(\cfrac {{\rm d}Q} T)_{\text{可逆}}$

　　若积分按连接状态1、2的不可逆过程进行，则热温比积分值将小于熵的增量。
　　$S_2-S_1>\int^2_1(\cfrac {{\rm d}Q} T)_{\text{不可逆}}$

　　以上关系的总结：状态1、2之间的熵差值是确定的，只有选用连接状态1,2的可逆过程，才能用热温比的积分值算出熵差。若选用不可逆过程计算，积分值比实际熵差值要小。

计算要求：★熵变化量的计算
典型习题：二、12 三、8

4. 熵增原理

　　在孤立系统中($dQ=0$ )发生的过程， $S_2-S_1 \ge 0$
　　即: 孤立系统中实际发生的过程将朝着熵值(混乱度)更大的方向进行。

四、循环过程及热机、致冷机

1. 循环过程的特点 $\Delta E=0$

2. 分类：正循环、逆循环

3. 循环过程的应用

　　正循环过程→热机
　　逆循环过程→致冷机

4. 热机、致冷机效能的量度

　　热机效率: $\eta=\cfrac W {Q_1}=1-\cfrac {Q_2} {Q_1}$
　　致冷机致冷系数: $e=\cfrac {Q_2} W=\cfrac {Q_2} {Q_1-Q_2}$
　　热量$Q_1$ 、$Q_2$ 、功$W$ 均用绝对值(大小)
　　$Q_1$ 为高温热源上释放或吸收的热量大小
　　$Q_2$ 为低温热源上释放或吸收的热量大小
　　$W$ 为功的大小

计算要求：★★★任意(准静态)循环过程中效率及致冷系数的计算， 将综合考察热量、功等的计算
典型习题：三、3 热学综合练习:二、3

5. 卡诺热机、卡诺致冷机

　　理想化的热机、致冷机，其循环过程由两条等温线和两条绝热线包围而成，是可逆过程。
　　卡诺热机效率: $\eta_c=1-\cfrac {T_2} {T_1}$
　　卡诺致冷机致冷系数: $e_c=\cfrac {T_2} {T_1-T_2}$

计算要求：★★卡诺循环中效率、致冷系数等的计算
典型习题：三、4

6. 卡诺定理

　　$\eta_{可逆机}=\eta_c=1-\cfrac {T_2} {T_1}$

　　以其他可逆循环过程为工作循环的热机，效率与卡诺热机相同。

　　$\eta_{不可逆机}\le \eta_c=1-\cfrac {T_2} {T_1}$

　　以不可逆循环过程为工作循环的热机，效率小于卡诺热机的效率。