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本文是深度科普系列《从线性代数到量子力学》的第13课。

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0) 开篇语

在第11课中，我们用单缝衍射实验的结果定性地展现了不确定性原理的最典型的例子：位置和动量的不确定性关系，并且给出了用标准差表示的不等式形式：

$\small \Delta x\Delta p\geq\frac{\hbar}{2} \quad\scriptsize{(式11.1)}$

为了给这个式子的证明做铺垫，我们在第12课导出了动量和坐标之间的表象变换关系，并且发现它就是我们熟悉的傅里叶变换。

本课中，我们就要利用这个变换来完成不确定性关系证明的最后一击。

我们先从某个态矢量中力学量的方差的计算开始说起。

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1) 方差的计算

为了更直观理解，我们还是先来看离散的例子。

假设给定了力学量$\small F$，那么对于一个一般的态矢量$\small \left|\psi\right>$，它的$\small F$表象为：

$\small \left|\psi\right>=\sum_j{c_j^{(f)}\left|f_j\right>} \quad\scriptsize{(式13.1)}$

它在各个本征态上的“投影长度”平方、也就是 $\small \left|c_{j}^{(f)}\right|^2$、就构成了各个本征值$\small f_j$的概率分布函数。

有了概率分布信息，我们就能计算期望值、方差等统计特性了。

这个非常容易，根据定义，我们曾经在第6课中算过，对于处于态矢量$\small \left|\psi\right>$的物理对象测量力学量$\small F$，测量结果的期望值为：

$\small \left<f\right>=\sum_j{\left|c_{j}^{(f)}\right|^2}f_j \quad\scriptsize{(式13.2)}$

(注：量子力学里通常用$\small \left<f\right>$而不是$\small \mu_f$来表示随机变量$\small f$的期望值)

同理，我们可以知道测量结果的方差为：

$\small \sigma_f^2=\sum_j{\left|c_{j}^{(f)}\right|^2(f_j-\left<f\right>)^2} \quad\scriptsize{(式13.3)}$

如果考虑期望值$\small \left<f\right>=0$的特殊情况，则有：

$\small \sigma_f^2=\left<f^2\right>=\sum_j{\left|c_{j}^{(f)}\right|^2f_j^2} \quad\scriptsize{(式13.4)}$

在推广到连续情形，就是：

$\small \left<f\right>=\int_{-\infty}^{+\infty}{\left|\psi(f)\right|^2f\text df} \quad\scriptsize{(式13.5)}$

$\small \sigma_f^2=\int_{-\infty}^{+\infty}{\left|\psi(f)\right|^2(f-\left<f\right>)^2\text df} \quad\scriptsize{(式13.6)}$

以及期望值为零的特殊情况：

$\small \sigma_f^2=\left<f^2\right>=\int_{-\infty}^{+\infty}{\left|\psi(f)\right|^2f^2\text df} \quad\scriptsize{(式13.7)}$

有了这些铺垫，我们就能证明不确定性关系了。

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2) 不确定性关系的证明

这里介绍顾樵先生的量子力学卷2中的证明(第345-347页)。

为了简化证明，我们假设$\small \left<x\right>=0,\left<p\right>=0$(从物理上我们可以找到合适的坐标系和惯性参考系来强行实现这一点)，那么我们只要证明：

$\small \left<x^2\right>\left<p^2\right>\geq \frac{\hbar^2}{4} \quad\scriptsize{(式13.8)}$

就能得出不确定性关系。

大致的证明思路是这样的：

首先从泛函分析中著名的柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式出发、经过一系列构造和变形，我们可以凑出这么一个不等式：

$\small \int_{-\infty}^{+\infty}{\left|\psi(x)\right|^2x^2\text dx}\int_{-\infty}^{+\infty}{\left|\psi'(x)\right|^2\text dx}\geq \frac{1}{4} \quad\scriptsize{(式13.9)}$

(这个不等式的证明是整个证明过程中最难最枯燥的部分，根据本系列娱乐为主的传统，该部分证明从略)

可以看出，前一个积分即是$\small \left<x^2\right>$，所以，接下来我们只需要证明后一个积分的结果为：

$\small \int_{-\infty}^{+\infty}{\left|\psi'(x)\right|^2\text dx}=\frac{\left<p^2\right>}{\hbar^2} \quad\scriptsize{(式13.10)}$

为了实现这一步证明，我们在上节课中找到的关键先生：傅里叶变换就要上场了。

具体说来，后面的证明需要用到关于傅里叶变换的三个结论：

第一个结论是函数求导后的傅里叶变换关系：

$\small \int_{-\infty}^{+\infty}{\psi'(x)\text e^{-\text ikx}\text dx}=\text ik\phi(k) \quad\scriptsize{(式13.11)}$

其中：

$\small \phi(k)=\int_{-\infty}^{+\infty}{\psi(x)\text e^{-\text ikx}\text dx} \quad\scriptsize{(式13.12)}$

即$\small \psi(x)$的傅里叶变换。

第二个结论是著名的Parseval定理：

(顾樵先生的书上称为Plancherel定理，待考证)

如果$\small F(k)$与$\small f(x)$是一对傅里叶变换对，那么有如下等式关系：

$\small \int_{-\infty}^{+\infty}{\left|f(x)\right|^2\text dx}=\int_{-\infty}^{+\infty}{\left|F(k)\right|^2\text dk} \quad\scriptsize{(式13.13)}$

(这其实可以看做勾股定理的无穷维函数空间版本)

对于$\small \psi'(x)\stackrel{\text{F.T.}}{\longrightarrow}\text ik\phi(k)$这对傅里叶变换，我们也可以利用Parseval定理得到：

$\small \int_{-\infty}^{+\infty}{\left|\psi'(x)\right|^2\text dx}=\int_{-\infty}^{+\infty}{\left|\text ik\phi(k)\right|^2\text dk} \quad\scriptsize{(式13.14)}$

而这里我们知道，$\small k$的物理意义是物质波的波数。

根据德布罗意关系，我们知道：$\small k=\frac{p}{\hbar}$，将其代入上式：

$\small \begin{align} \int_{-\infty}^{+\infty}{\left|\psi'(x)\right|^2\text dx}&=\int_{-\infty}^{+\infty}{\left|\text i\frac{p}{\hbar}\phi(p)\right|^2\text dp}\\ &=\frac{1}{\hbar^2}\int_{-\infty}^{+\infty}{p^2\left|\phi(p)\right|^2\text dp} \end{align} \quad\scriptsize{(式13.15)}$

接下来，我们要用到第三个结论，也就是上节课中得出的坐标和动量之间的表象变换关系：

$\small \psi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int{\phi(p)\text e^{\frac{\text i}{\hbar}px}\text dp} \quad\scriptsize{(式12.11)}$

从指数函数上的符号可以看出，这个其实是一个傅里叶逆变换。

根据傅里叶变换的关系，我们可以求得它的正变换：

$\small \phi(p)=\int_{-\infty}^{+\infty}{\psi(x)\text e^{-\frac{\text i}{\hbar}px}\text dx} \quad\scriptsize{(式13.16)}$

到了这一步，我们可以确信，$\small \phi(p)$正好就是态矢量$\small \left|\psi\right>$的动量表象。

于是，我们前面给出的式13.15最右边的积分就代表着动量的方差$\small \left<p^2\right>$，即：

$\small \int_{-\infty}^{+\infty}{p^2\left|\phi(p)\right|^2\text dp}=\left<p^2\right> \quad\scriptsize{(式13.17)}$

这样，我们就得到了：

$\small \int_{-\infty}^{+\infty}{\left|\psi'(x)\right|^2\text dx}=\frac{\left<p^2\right>}{\hbar^2} \quad\scriptsize{(式13.18)}$

将其代入最初给出的不等式，有：

$\small \begin{align} \int_{-\infty}^{+\infty}{\left|\psi(x)\right|^2x^2\text dx}\int_{-\infty}^{+\infty}{\left|\psi'(x)\right|^2\text dx}&=\left<x^2\right>\left<p^2\right>\\ &=\sigma_x^2\sigma_p^2\\ &\geq \frac{1}{4}\hbar^2 \end{align} \quad\scriptsize{(式13.19)}$

两边开根号，就得到：

$\small \sigma_x\sigma_p\geq\frac{\hbar}{2} \quad\scriptsize{(式13.20)}$

再写成量子力学中更常用的记法：

$\small \Delta x\Delta p\geq\frac{\hbar}{2} \quad\scriptsize{(式11.1)}$

就是我们常见的不确定性关系了。

这里顺便提一句，关于不确定性关系，还有一种更简洁(但是也更抽象)的证明方法，就是利用位置算符和动量算符之间所谓的对易关系：

$\small \left[\hat{x},\hat{p}\right]:=\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x}=\text i\hbar \quad\scriptsize{(式13.21)}$

再结合柯西$-$施瓦茨不等式的抽象版本来证明。

我们在本课中不再介绍这个证明，有兴趣的同学可以去翻翻课本，基本上任何一本量子力学教材上都能找到。

不过，需要特别关注的是，这个证明中用到的对易关系在量子力学中其实非常重要，它算得上是量子力学另一种意义上的基本方程。

当我们未来讨论量子力学中的对称性和守恒律的时候会频繁用到它，到时候我们会专门做一个介绍。

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3) 总结与预告

本课中，我们简单介绍了不确定性关系的证明，完成了关于不确定性原理这条主线的整个观赏过程。

我们明白了一点，就是这个原理其实与测量行为无关，而是态矢量在不同表象中的“投影”带来的固有的概率分布，也明白了这个原理的背后也暗藏着线性代数的本质，并且领略了从数学上证明它的过程。

值得特别一提的是，在本课的证明过程中，我们给出了计算力学量期望值的式子，而这也是将微观世界和宏观世界联系起来的关键。

毕竟，本系列开篇以来，我们都一直在抽象的量子世界里自嗨，在本系列上半程接近尾声的此时，我们也该抽出身来，看看我们熟悉的宏观世界了。

下节课，我们就来完成本系列前半程要做的最后一件事情：从薛定谔方程中导出牛顿第二定律。

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编辑于 2021-11-30 18:12