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版次: 2024
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§4 刚体的转动

一、刚体的运动及其描述

1. 刚体概念

　　在任何情况下,形状和大小都不发生变化的物体。
　　任意两质点间距离保持不变的特殊质点系。

2. 刚体的运动

（1）平动: 刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同。－用质点力学处理刚体平动问题
（2）转动: 刚体上所有质点都绕同一直线(转轴)作圆周运动
　　本课程仅研究转轴不动的转动－定轴转动

3. 描述刚体定轴转动的物理量

（1）角位置(角坐标) $\theta$

（2）角速度 $\omega=\cfrac {{\rm d}\theta }{{\rm d}t}$

（3）角加速度 $\alpha =\cfrac {{\rm d}\omega }{{\rm d}t}$

备注：对一般转动，角速度定义为矢量$\vec \omega$，其方向按右手定则确定。在定轴转动问题中，仅存在正负两种指向，角速度简化为标量$\omega$ 。同理，角加速度矢量 $\vec \alpha$，在定轴转动问题中，简化为标量 $\alpha$。类似的，力矩、角动量等在定轴转动问题中，也简化为标量。

4. 常见转动形式

（1）匀速转动 $\theta =\omega t$

（2）匀变速转动 $\begin{cases} \omega=\omega_0+\alpha t\\ \theta=\omega_0t+\frac 1 2 \alpha t^2 \\ \omega^2-\omega_0^2=2\alpha\theta \end{cases}$

计算要求：★角量运动方程的应用 1) 已知运动方程，球速度、加速度 2) 已知角速度、加速度，求运动方程
典型习题：一、1

二、刚体定轴转动的转动定律

1. 力矩

（1）力矩矢量　$\vec M=\vec r\times \vec F$
　　$\vec r$ 是参考点(转轴)到力的作用点的位置矢量

（2）定轴转动中的（标量）力矩: $M=Fd$
　　$d$:力臂,转轴到力作用方向的垂直距离

2. 转动惯量

（1）定义　$J=\int r^2dm$

　　$r$ 是质量元$dm$ 与轴的距离
　　转动惯性的量度，与刚体总质量、质量的分布、轴的位置有关

（2）计算
　　对质量呈线分布的刚体 $dm=\lambda dl$，$\lambda$ 为质量线密度，作线积分。
　　对质量呈面分布的刚体 $dm=\sigma dS$，$\sigma$为质量面密度，作面积分。
　　对质量呈体分布的刚体 $dm=\rho dV$，$\rho$为质量密度，作体积分。

（3）平行轴定理
　　质量为$m$ 的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为$J_c$ ，则对任一与该轴平行，相距为$d$的转轴的转动惯量为 $J=J_c+md^2$

计算要求：★转动惯量的计算。常融合在其他内容中考查。1） 按定义求和计算 2）常用结论,结合平行轴定理。

3. 刚体定轴转动定律

（1）定律　$M=J\alpha$
　　刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比 ，与刚体的转动惯量成反比

（2）应用
　　对物体系中转动物体应用转动定律
　　平动物体应用牛顿第二定律
　　寻找牵连关系(用角量、线量之间的联系)
　　联立方程组

计算要求：★★★转动定律的应用(常与质点问题相结合)。1）杆摆动问题 2）滑轮（组）问题
典型习题：一、3

三、刚体定轴转动的角动量定理及角动量守恒定律

1. 角动量

（1）质点的对参考点的角动量 $\vec L=\vec r\times\vec p$

（2）质点对转轴的角动量$L=mv \cdot d$

（3）刚体对转轴的角动量 $L=J\omega$

　　角动量又名动量矩

2. (刚体定轴转动)角动量定理　$\int Mdt=J\omega_2-J\omega_1$

　　$\int{Mdt}$称为冲量矩

　　作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量

　　微分形式: $Mdt=dL$

　　成对内力的合力矩为零，对系统角动量的改变无贡献

计算要求：★角动量定理的应用 1) 计算冲量矩 2) 计算末状态
典型习题：三、4

3. 角动量守恒定律

（1）定轴转动的角动量守恒定律
　　$M^{ex}=0,\quad J\omega=\text{恒量}$
　　外力矩为零(无外力、或外力过轴线/平行于轴线)时，角动量守恒。

（2）物体系的角动量守恒定律
　　$\sum M=0,\quad \sum J_i\vec \omega_i+\sum\vec r_i \times m\vec v_i=\text{恒量}$
　　对由几个物体或质点构成的系统，若整个系统所受对同一转轴的合外力矩为零，则整个物体系对该转轴的总角动量守恒。

计算要求：★★角动量守恒的应用。注意是系统内质点的角动量、刚体的角动量之和守恒

四、刚体定轴转动中的能量关系

1. 力矩的功 　$W=\int Md\theta$

2. 角动能　$E_k= \cfrac 1 2 J\omega^2$

3. 角动能定理　$W=\cfrac 1 2J \omega_2^2-\cfrac 1 2 J\omega_1^2$

计算要求：★角动能定理的应用 1）力矩的计算 2）末状态的计算

4. 含转动动能的机械能守恒定律

（1）刚体重力势能$E_p=mgh_c$
　　刚体的重力势能等于将刚体的质量和重力均集中于质心处的质点的势能。

（2）刚体的机械能 $E=E_k+E_p=\cfrac 1 2J\omega^2+mgh_c$

（3）对于包括刚体的物体系，功能原理仍然成立

（4）包含转动动能的机械能守恒定律
　　若$W^{ex}+W_{nc}^{in}=0,$$\quad E=\text{恒量}$
　　外力和非保守内力不作功（只有保守内力作功）时，机械能守恒

计算要求：★★机械能守恒定律的应用。合适选择系统，使保守力作为内力

五、角动量守恒及机械能守恒的综合应用

　　物体系统碰撞前后在重力、弹力的作用下的转动问题。

　　1）需要分阶段讨论；2）碰撞问题：动量或角动量守恒，若为弹性碰撞，动能守恒；3）在重力、弹力作用下的转动：机械能守恒

物体系统中，若有转动轴（或支点），则碰撞时，轴上会根据需要产生外力，使得碰撞前后动量不守恒，但轴上外力不产生力矩（力臂为0），故碰撞前后角动量守恒。

计算要求：★★★角动量守恒及机械能守恒的综合应用。
典型习题：三、6、9

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版次: 2024-2
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§1 质点运动学

一、描述质点运动的物理量(线量)

1. 位置矢量 　$\vec r$

　　1）由参考点指向质点位置的矢量；2）位置矢量随时间的变化关系，称为运动方程$\vec r(t)$；3）运动方程完整的描述了质点运动，由运动方程可导出其他描述质点运动的物理量、表达式。

2. 位移矢量　$\Delta \vec r = \vec r _2 - \vec r _1$

　　反映位置变化(方位及距离)

3. (瞬时)速度矢量　 $\vec v = \cfrac{{\rm d}\vec r} {{\rm d}t}$

　　1）是平均速度($\overline{\vec v} = \cfrac{\Delta \vec r} {\Delta t}$)的极限；2）是位置矢量对时间的变化率；3）反映质点空间位置变化的快慢和方向。

4. (瞬时)加速度矢量　$\vec a = \cfrac{{\rm d} \vec v} {{\rm d}t}$

　　1）是平均加速度($\overline{\vec a} = \cfrac{\Delta \vec v} {\Delta t}$)的极限；2）是速度矢量对时间的变化率；3）反映速度对时间的变化快慢和方向。

5. 小结: 位置矢量、速度矢量、加速度矢量的联系

（1）后者是前者的“变化率”
　　$\vec r(t) \xrightarrow[]{\,\quad\frac {{\rm d} \vec r}{{\rm d}t}=\vec v \quad} \vec v(t) \xrightarrow[]{\,\quad \frac {{\rm d} \vec v}{{\rm d}t}=\vec a \quad} \vec a(t)$

（2）前者是后者的“累积”
　　$\vec r(t) \xleftarrow[\vec r=\vec r_0+\int^t_{t_0} \vec v{\rm d}t]{} \vec v(t) \xleftarrow[\vec v=\vec v_0+\int^t_{t_0} \vec a{\rm d}t]{} \vec a(t)$

（3）备注：由导数式$\vec v=\cfrac {{\rm d} \vec r}{{\rm d}t}$，转化为积分式的过程：
　　$\vec v=\cfrac {{\rm d} \vec r}{{\rm d}t} \xrightarrow[]{\text{移项}}\vec v{\rm d}t={\rm d}\vec r\xrightarrow[\text{上下限对应}]{\text{两边定积分}}\int^t_{t_0}\vec v{\rm d}t=\int^{\vec r}_{\vec r_0}{\rm d}\vec r$
　　$\vec v$对$t$积分，得到的是位置矢量增量（即位移）$\Delta\vec r=\vec r-\vec r_0$ ，类似地，　$\vec a$对$t$积分，得到的是$\vec v$的增量$\Delta \vec v=\vec v_2-\vec v_1$

计算要求：★★已知运动方程，1）求速度加速度、轨迹等 2）判断运动特点
典型习题：三、1

计算要求：★★★已知加速度或速度， 并辅以初始条件，求运动方程
典型习题：三、3

6. 备注：直角坐标系下各量、各关系的分解形式

　　$\vec r=x \vec i+y \vec j+z \vec k$ 　　 $\Delta \vec r=\Delta x \vec i+\Delta y \vec j+ \Delta z \vec k$

　　$\vec v=v_x \vec i+v_y \vec j+v_z \vec k$

　　$\vec a=a_x \vec i+a_y \vec j+a_z \vec k$

　　$\vec v= \cfrac {{\rm d} \vec r} {{\rm d}t} =\cfrac {{\rm d} x} {{\rm d}t} \vec i+\cfrac {{\rm d} y} {{\rm d}t} \vec j+\cfrac {{\rm d} z} {{\rm d}t} \vec k$

　　$\vec a= \cfrac {{\rm d} \vec v} {{\rm d}t} = \cfrac {{\rm d}^2 \vec r} {{\rm d}t^2}=\cfrac {{\rm d}^2 x} {{\rm d}t^2} \vec i+\cfrac {{\rm d}^2 y} {{\rm d}t^2} \vec j+\cfrac {{\rm d}^2 z} {{\rm d}t^2} \vec k$

7. 备注：微分式到积分式的变换过程

（1）由微分式进行积分
　　将导数式，整理为微分等式，两边加积分号。
　　为了使两边的积分可展开，需“分离变量”，将与被积变量相关的项移到被积变量同侧。
　　例：$v=kx$ $\xrightarrow[]{\text{$v$展开}} \quad \cfrac {{\rm d}x}{{\rm d}t}=kx$ $\xrightarrow[]{\text{分离变量}} \quad\cfrac 1 x {\rm d}x=k{\rm d}t$
　　$\xrightarrow[]{\text{两边加积分号}} \quad\int^{x_2}_{x_1} \cfrac 1 x {\rm d}x=\int^{t_2}_{t_1}k{\rm d}t$

（2） 变上限积分 将定积分上限指定为变量本身，得到变量间的函数关系
　　例：$v=kx$ $\xrightarrow[]{\text{改写成积分}} \quad\int^{x}_{x_0} \cfrac 1 x {\rm d}x=\int^{t}_{t_0}k{\rm d}t$
　　 $\xrightarrow[]{} \quad \ln x - \ln x_0 =k(t-t_0)$ $\xrightarrow[]{} \quad x=x_0e^{k(t-t_0)}$

（3）变换被积变量
　　某些问题中，需要将对时间的积分，变成对位置量（坐标、角度等）的积分。
　　1）变换方法：尝试在导数式的上下部分同时“乘以”中间变量的微分。
　　例: $\cfrac {{\rm d}v}{{\rm d}t}=\cfrac {{\rm d}v}{{\rm d}t} \cfrac {{\rm d}\theta}{{\rm d}\theta}=\omega\cfrac {{\rm d}v}{{\rm d}\theta}$，然后移项、积分。
　　2）典型应用：
　　圆周运动 －乘以角坐标的微分(如:${\rm d}\theta$)
　　直线运动(分运动) －乘以坐标的微分(如:${\rm d}x$)
　　曲线运动 －乘以路程的微分(如: ${\rm d}s$)

8. 注意：矢量符号、标量符号的意义

　　以速度矢量$\vec v$为例:

　　$v$：速度矢量的大小，$v= \vert {\vec v} \vert$ ，与速率相同

　　$\Delta \vec v$ ：速度矢量的增量$\Delta \vec v= \vec v_2-\vec v_1$

　　$\vert\Delta \vec v \vert$：速度矢量增量的大小$\vert \Delta\vec v \vert=\vert \vec v_2-\vec v_1\vert$

　　$\Delta v$ ：速率的增量，$\Delta v=v_2-v_1=\vert \vec v_2\vert-\vert \vec v_1 \vert$

9. 注意：路程等相关概念

　　路程：$\Delta S$ ，（$\Delta t$时间内）运动轨迹的长度

用了增量符号$\Delta$，可理解为：$\Delta S=S_2-S_1$，$S$是自计时起点起，运动轨迹的长度值。

　　平均速率： $\overline v=\cfrac {\Delta S}{\Delta t}$

　　瞬时速率：$v= \cfrac {{\rm d}S} {{\rm d}t}$ , 平均速率的极限
　　因${\rm d}S=\vert {\rm d} \vec r \vert$ ，瞬时速率即为瞬时速度矢量的大小。(故速率的符号为$v$，$v=\vert \vec v\vert$ )

二、加速度(按自然坐标系)的分解

1. 自然坐标系
　　

　　切向，沿质点前进方向为正，单位矢量$\vec e _t$
　　法向，轨迹凹侧为正，单位矢量$\vec e_n$

自然坐标系主要用于力、加速度等的分解。

2. 加速度的分解，切向加速度和法向加速度

　　加速度，可按自然坐标系，分解为切向加速度和法向加速度。
　　$\vec a=a_t\vec e_t+a_n\vec e_n$

　　$a_t=\cfrac {{\rm d}v} {{\rm d}t}$ 切向加速度 — 反映速度大小的变化
　　$a_n= \cfrac {v^2} \rho$法向加速度 — 反映速度方向的变化

三、(圆周)运动的角量描述

1. 角坐标、角位置　$\theta$

　　角坐标随时间的变化关系$\theta(t)$，称为角量运动方程。

2. 角速度　$\omega= \cfrac {{\rm d}\theta} {{\rm d}t}$

3. 角加速度　$\alpha=\cfrac {{\rm d}\omega}{{\rm d}t}$　

4. 小结: 角坐标、角速度、角加速度的联系

（1）后者是前者的“变化率”
　　$\theta(t) \xrightarrow[]{\,\quad\frac {{\rm d} \theta}{{\rm d}t}=\omega \quad} \omega(t) \xrightarrow[]{\,\quad \frac {{\rm d} \omega}{{\rm d}t}=\alpha \quad} \alpha(t)$

（2）前者是后者的“累积”
　　$\theta(t) \xleftarrow[\theta=\theta_0+\int^t_{t_0} \omega {\rm d}t]{} \omega(t) \xleftarrow[\omega =\omega_0+\int^t_{t_0} \alpha {\rm d}t]{} \alpha(t)$

5. 与线量的联系

　　对距圆心$r$处的点：

　　速率：$v=r\omega$

　　加速度分量: $\begin{cases} a_t=r\alpha \ a_n =r\omega^2\end{cases}$

计算要求：★已知角量运动方程，1）求角速度、加速度 2）求相应的线 速度、法向加速度、切向加速度
典型习题：三、4

四、(伽利略)速度变换式, 运动的相对性

1. (伽利略)速度变换式　$\vec v =\vec v'+\vec u$

　　$\vec v$ ：质点相对基本参考系$S$的速度，${\vec v}'$ ：质点相对运动参考系$S’$的速度记为(相对速度)，$\vec u$：运动参考系$S’$相对基本参考系$S$的速度。

　　推广形式：$\vec v_{AB}=\vec v_{AC} +\vec v_{CB}$，$A$相对于$B$的速度，等于$A$相对于$C$的速度与$C$相对于$B$的速度的矢量和。

计算要求：★运用速度变换，求相对速度。 常融合在其他力学问题中。
典型习题：三、6

§2 牛顿定律

一、牛顿三大运动定律

1. 牛顿第一定律

　　任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直至其它物体对它作用的力迫使它改变这种状态。
　　牛顿第一定律指出物体具有惯性，并定义了惯性参考系：符合第一定律的参考系，称为惯性参考系。

2. 牛顿第二定律　$\vec F=m\vec a$

　　揭示了力是引起运动状态改变的原因
（1）原始形式 $\vec F=\cfrac {{\rm d} \vec p}{{\rm d}t}$
　　因（经典力学中）质量是常数， $\vec F=\cfrac {{\rm d} \vec p}{{\rm d}t}=m\cfrac {{\rm d}\vec v} {{\rm d}t}=m\vec a$

（2）在直角坐标系下:$\vec F=ma_x\vec i+ma_y \vec j+ma_z\vec k$
　　分量式为 $\begin{cases} F_x=ma_x \ F_y=ma_y \ F_z=ma_z \end{cases}$

（3）在自然坐标系下:$\vec F=m(\vec a_t+\vec a_n)=m\cfrac {{\rm d}v}{{\rm d}t}\vec e_t+m\cfrac {v^2}{\rho} \vec e_n$
　　分量式为$\begin{cases} F_t=ma_t=m \cfrac {{\rm d}v}{{\rm d}t} \ F_n=ma_n=m\cfrac{v^2}{\rho} \end{cases}$

3. 牛顿第三定律

　　两个物体之间的作用力和反作用力沿同一直线，大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。$\vec F=-\vec F'$

二、牛顿定律应用

1. 常见的三类力

　　1）万有引力(重力)；2）弹性力(压力、支持力、拉力、弹簧弹力) ；3）摩擦力(静摩擦力、滑动摩檫力)

2. 牛顿定律的应用

（1） 确定研究对象：质点或质点组合
（2）单个质点的受力分析
　　质点在力场中，存在场力，如重力、静电力
　　与其他物体相互接触，可能存在弹性力，如压力、支持力、拉力、弹簧弹力
　　与其他物体接触，并有相对运动，或有相对运动趋势，存在摩擦力

（3）运动状态分析
　　各质点的牛顿第二定律分量式
　　质点之间的牵连关系

计算要求： ★★一般运动中，牛顿第二定律的应用 多个牵连物体(如滑轮悬挂)， 需对各物体应用牛顿第二定律，联立方程组求解
典型习题：三、1,2

计算要求：★★圆周运动中牛顿第二定律的应用 需要法向加速度以及法向(向心)力
典型习题：三、3

§3 动量守恒定律和能量守恒定律

一、动量定理、动量守恒定律 － 力对时间的累计效应

1. 质点的动量定理 　$\int^{t_2}_{t_1}\vec F{\rm d}t=\vec p_2-\vec p_1$

　　1）力对时间的累积 → 动量的增量 ；2）$\vec I=\int^{t_2}_{t_1}\vec F{\rm d}t$ 称为“冲量”；3）$\vec p=m\vec v$, 质点的动量

2. 质点系的动量定理　 $\int^{t_2}_{t_1}\vec F^{ex}{\rm d}t=\vec p_2-\vec p_1$

　　1）合外力对时间的累积 → 系统动量的增量；2）描述的是两个及以上的质点组成的质点系统，需区分内力（$\vec F^{in}$）、外力（$\vec F^{ex}$）。3）内力对系统的动量改变无贡献（成对内力的合冲量为零）

3. （质点系的）动量守恒定律

　　1）若$\vec F^{ex}=0$，$\vec p=$恒矢量；2）在直角坐标系中，若某一坐标轴方向外力为零，则“该方向的动量守恒”。（总动量不一定守恒）
　　如: 若$F_x=0$, $p_x=$恒量。

计算要求：★★动量定理应用。 1）冲量的直接计算(力对时间积分)和间接计算(动量的增量) 2）确定末运动状态 3）计算平均冲力
典型习题：一、1，2

计算要求：★★★由动量守恒定律应用。 1）碰撞问题 2）某一方向上的动量守恒
典型习题： 一、3

二、动能定理 － 力对空间的累计效应

1. 功　 $W= \int^b_a \vec F \cdot {\rm d}\vec r$
　　

　　力对物体所做的元功等于力在物体位移方向的分量（切向力）与元位移大小的乘积，总功是过程中元功的数量和。

　　1）${\rm d}W=\vec F \cdot {\rm d}\vec r$　　$W= \int^b_a \vec F \cdot {\rm d}\vec r$；　2）分解式 $W=\int^{x_b}_{x_a}F_x{\rm d}x+\int^{y_b}_{y_a}F_y{\rm d}y+\int^{z_b}_{z_a}F_z{\rm d}z$；3）对恒力，简化为： $W=\vec F \cdot \Delta \vec r$

2. 动能　$E_k=\cfrac 1 2 mv^2$、质点的动能定理　$W=E_{k2}-E_{k1}$

　　简单表示为$W=\Delta E_k$, 功等于质点动能的增量

3. 质点系的动能定理　$W^{ex}+W^{in}=E_{k2}-E_{k1}$

　　所有力（内力、外力）的功等于系统动能的增量

　　成对内力所作的总功不一定为零。是否做功取决于两受力物体有无相对位移。

计算要求：★★动能定理的应用。 1）功的直接计算（力对时间积分）和间接计算（动能增量） 2）确定末运动状态
典型习题：一、4, 5

三、（物体系）的势能

1. 保守力

　　做功只由起点、终点位置决定的力

　　保守力做功与路径无关

2. 势能　$E_p$

　　对保守力，可定义对应的势能。保守力在两位置间做的功，等于该势能在两位置间的减少量（增量的负值）。 $W=-\Delta E_p$

　　势能是相对的，指定势能零点后，才能确定各位置的势能取值。

　　势能属于产生保守力相互作用的系统，引用势能时，隐含选择了以系统为研究对象。

3. 常见势能

（1）重力势能$E_p=mgh$
　　$h$为相对势能零点平面的高度。重力势能属于物体和地球组成的系统。

（2）弹簧的弹性势能$E_p= \cfrac 1 2kx^2$
　　$x$为弹簧的伸长量。弹簧的弹性势能属于弹簧和物体组成的系统。

计算要求：势能的计算，常融合在功能原理、机械能守恒定律等问题中

四、功能原理和机械能守恒

1. 机械能　$E=E_k+E_p$

　　系统动能和势能的总和

2. 功能原理　$W^{ex}+W_{nc}^{in}=E_2-E_1$

　　外力和非保守内力的功，等于系统机械能的增量

　　对保守力引入势能后，保守力作的功可用势能的变化代替。故质点系的动能定理，可变化为用机械能表达。 　　

2. 机械能守恒　若$W^{ex}+W_{nc}^{in}=0$, $E=$恒量

　　只有保守力（重力、弹力等）做功时，可适当选择系统，使保守力成为内力。此时，系统的机械能守恒。

计算要求：★★★机械能守恒定律的运用
典型习题：三、6

五、质心，质心运动定律

1. 质心　 $\vec r_c= \cfrac 1 M \int \vec r {\rm d}m$

　　其中$M=\int {\rm d}m$ ,为质点系总质量
　　1）质心是质点系质量分布的平均位置；2）分量式: $x_c= \cfrac 1 M \int x{\rm d}m$ $y_c= \cfrac 1 M \int y{\rm d}m$ $z_c= \cfrac 1 M \int z{\rm d}m$ ； 3）对密度均匀、形状对称的物体，质心在其几何中心．

2. 质心运动定律　$\vec F^{ex} = M\vec a_c$

　　作用在系统上的合外力等于系统的总质量与系统质心加速度的乘积。

计算要求：质心的计算
典型习题：三、7