从线性代数到量子力学(25):克莱因-高登方程:一次不完美的尝试

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本文是深度科普系列《从线性代数到量子力学》第25课。

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0) 开篇语

上节课我们回顾了相对论能量关系E2=m2c4p2c2的由来,并且在构造过程中看到,这个能量关系背后隐藏着一个“投影”关系:

m2c4=E2p2c2(25.1)

即总能量E和动能项p2c2可以分别看成一个不变量(即静能量m2c4)在“时间维度”和“空间维度”上的“投影”。

而这个能量关系式是在任意参考系中都成立的,这种不随参考系改变的性质,也是一种对称性,即相对论协变对称性。

这种协变对称性可以认为是狭义相对论的“灵魂”所在,它将决定我们用相对论能量关系建立新的量子力学方程时,采用什么样的形式。

从这节课开始,我们就要跟随前人的脚步,来探索符合相对论能量关系和协变对称性的新方程的形式,然后看看这次探索这会给带我们进入一个什么样的新世界。


1) 克莱因-高登方程

建立新的能量本征方程的第一步,自然在于我们怎么处理哈密顿量。

一种思路是将总能量开根号:

E=±p2c2+m2c4(25.2)

就像我们在第23课中推导能量偏差项时所做的那样。

但这么做现实上不可操作,因为我们要把力学量、特别是动量转化为算符,而算符开根号在计算上是没办法处理的(比如我们没法直接定义x)

当然,我们可以继续将根号下的部分进行泰勒展开:

E=±(mc2+p22mp48m3c2+)(25.3)

这样一来,我们就可以将算符开根号转化成算符的幂函数,可以根据我们想要的精度保留动能项的阶数,最终建立一个高阶的线性微分方程。

但这种方式实际上已经破坏了原来的能量关系式中的“几何投影”的味道,也就破坏了能量关系背后蕴含的美妙的几何意义和协变对称性。

因此我们可以换第二种思路:不开根号,直接用能量平方关系来建立方程。

根据哈密顿算符与时间导数之间的关系:

ˆH=it(25.4)

我们可以求得:

ˆH2=22t2(25.5)

这就对应了能量关系等式左边的能量平方。

而能量关系右边的动量平方的算符自然也可以同理得到:

ˆp2=22(25.6)

代入相对论能量关系,可得:

22ψt2=2c22ψ+m2c4ψ(25.7)

这样,我们就得到了符合相对论的能量本征方程。

这个方程最早由瑞典物理学家克莱因(O. Klein)和德国物理学家高登(W. Gordon)各自独立发表,称为克莱因-高登方程,后文我们简称K-G方程。

我们可以看到,由于这个方程来源于相对论能量关系的算符化,而能量关系是在任意参考系中都成立,因此克莱因-高登方程也是在任意参考系中都成立、具有相同的形式,这就是我们想要保留的方程的协变对称性。

这个方程的解很简单,仍然是我们在第9课中见到过的复指数形式的平面波:

ψ(t,x,y,z)=ei(kxx+kyy+kzzωt):=ei(kxωt)(25.8)

其中,k是平面单色波的波矢量,ω是频率。

利用德布罗意关系:

k=p,ω=E(25.9)

我们可以将它写成能量和动量的函数:

ψ(t,x,y,z)=ei(pxEt)(25.10)

这个解非常容易验证,只要将它代入克莱因高登方程,我们就很自然地得到:

E2ψ=(p2c2+m2c4)ψ(25.11)

到这里,我们似乎就完成了从方程建立到求解的全套过程,整个过程流畅得让人心旷神怡(当然,我们还没考虑有势场的情形,但这并不影响本质)。

但这个奇幻旅程真的这么快就结束了吗?

似乎事情不应该这么顺利,也不应该这么波澜不惊。实际上,如果我们对解的性质做一些更细致的考察,就会发现,它其实有几个地方并不符合我们对物理世界的美好期望。

我们先将这些“不符合美好期望”的问题列出来,然后一个一个去讨论它们:

  • 负能解问题
  • 负概率问题
  • 自旋信息问题

2) 负能解问题

不知道同学们有没有注意,我们前面的求解过程其实只完成了一半,因为在式25.11里面,我们得到的是能量平方的本征值,而不是能量本征值本身。

要求得能量本征值,我们仍然需要对等式右边进行开方。

而我们的初中数学老师告诉我们,开方会带来正负两个解:

E=±p2c2+m2c4(25.2)

那么问题来了:负能量的解需要保留吗?

如果我们仅仅是在讨论狭义相对论,而没有涉及到量子力学,那么这个问题很简单:

负能解没有物理意义,直接舍去就行了。

但是现在我们要面临一个量子力学特有的问题:本征态组的完备性问题。

我们知道,所有的能量本征态构成一组完备基底,以保证任何一个态矢量都可以由这组基底线性表出。

这就意味着,不管能量是正还是负,只要它满足K-G方程,它对应的本征函数就一定是这组基底中必不可少的一个,如果缺了任意一个,这组基底就不完备,就不能表示出任意态矢量。

而我们看到,负能量解也满足K-G方程,对应的本征态也就必须纳入完备基底中,所以就不可能被舍去了。

那么现在问题来了:

第一,一个粒子具有“负能量”,有具体的物理意义吗?

第二,如果有负能级,那么粒子的能级岂不是可以一直往下跌?(哪怕是我大A股也有见底的时候吧……)

这个问题我们留到以后再讨论,现在我们来看K-G方程的另外一个问题:负概率问题。


3) 概率流守恒

讨论负概率问题之前,我们需要先来了解一个非常基本的守恒律:概率流守恒。

假如我们考虑某种流,比如水流、电流、热流等,那么我们会发现一个普遍的流守恒定律。

以电荷为例,如果我们考虑某个带电材料内部的某个空间区域,有电流通过这个区域的边界面流入流出,那么我们会发现,通过边界流出这个区域的总电流,等于这个区域内部电荷的减少率,也就是总的电荷守恒。

这句话写成公式就是:

Sjdσ=tVρdω(25.12)

左边的积分是电流密度j在区域V的闭合边界面S上的净流出量,右边的积分表示空间区域V内部的总电荷(电荷密度的体积分),对时间的偏导表示总电荷的变化率((负号表示减少)。

接下来,我们将这个关系做一些处理,将它从积分的形式改写成写成微分的形式。

首先,右边对时间的偏导可以放到积分号内:

Sjdσ=Vρtdω(25.13)

而对于左边,我们可以通过高斯积分公式将它也化为体积分:

Sjdσ=Vjdω(25.14)

于是我们可以将守恒关系式化为:

Vjdω=Vρtdω(25.15)

由于积分区域V是任意选取的,所以左右两边积分号内部的被积函数处处相等:

j=ρt(25.16)

其实 j 的散度的物理意义本来就可以看作某个局部体积微元 dV 的边界上 j 的净流出量除以 dV

这就是电流守恒、或者说电荷守恒的微分形式。

在量子力学中,我们也需要考虑一种流,就是粒子在空间中出现的概率流。

我们知道,根据波函数的统计诠释,波函数的模平方就是粒子在空间中某点出现的概率。

而在量子力学的观念中,粒子是不生不灭的,这就意味着,随着波函数的演化,如果粒子在某处出现的概率减少,那么这个减少的概率必然会随着某个概率流,流到别出去。

如果我们将粒子在某处出现的概率密度记为ρ,那么我们也能找到一个概率流j,使它满足守恒方程(式25.16)。

而令人感到惊奇的是,在量子力学中,这个守恒律不用附加额外的条件,直接用薛定谔方程就能得到。

我们现在就来证明这一点。

首先,根据波函数的统计诠释,粒子在空间某处出现的概率密度为:

ρ=|ψ|2=ψψ(25.17)

于是它的时间变化率为:

ρt=t(ψψ)=ψψt+ψψt(25.18)

由于我们是要通过薛定谔方程来证明概率流守恒,因此我们可以在薛定谔方程中构造上面等式右边的两项。

首先,对薛定谔方程两边同时乘以ψ,我们可以得到:

iψψt=22mψ2ψ+Vψψ(25.19)

这样我们就构造出了第一项:ψψt

而对于第二项,由于是对ψ的复共轭ψ求时间微分,因此我们可以先对薛定谔方程两边同时取复共轭:

(iψt)=(22m2ψ+Vψ)(25.20)

得到:

iψt=22m2ψ+Vψ(25.21)

然后在两边同时乘以ψ,得到:

iψψt=22mψ2ψ+Vψψ(25.22)

用式25.21减去式25.22,就得到:

i(ψψt+ψψt)=22m(ψ2ψψ2ψ)(25.23)

这个新方程的左边就是概率密度随时间的变化率:

ψψt+ψψt=t(ψψ)=ρt(25.24)

而它的右边括号中的项,可以进一步写成:

ψ2ψψ2ψ=(ψψψψ)(25.25)

现在,我们令:

j=i2m(ψψψψ)(25.26)

将式25.24和式25.26代入式25.23,我们就能从形式上写出守恒方程:

ρt=j(25.27)

这里唯一遗留的问题就是式25.26给出的概率流定义:这个式子右边那一串奇怪的东西,看起来似乎只是为了凑一个守恒方程而强行规定的,它真的具有概率流的物理意义吗?

这一点其实可以被证明,但我们这里略过不提,有兴趣的同学可以参考张永德老师的书[1],现在我们只通过一个简单的算例来感受一下这个定义的合理性。

为了简单起见,我们考虑没有势场的自由粒子,它的能量本征函数就是平面单色波:

ψ=exp[i(pxEt)](25.28)

对这个波函数以及它的复共轭求梯度,就得到:

{ψ=ipψψ=ipψ(25.29)

将这个关系式代入概率流的定义式25.26里,我们就得到:

i2m(ψψψψ)=i2m[2ip(ψψ)]=pmρ=vρ(25.30)

这里的概率密度乘以“速度”,就可以看成概率密度的“流动”,也就对应了概率流密度j

这样,我们就通过薛定谔方程导出了概率流守恒。

这也在某种意义上印证了量子力学更高的自洽性:通过薛定谔方程,我们不仅能还原出牛顿力学定律,还能得出经典力学不能直接得出的流守恒定律。

接下来,我们来看看,如何从K-G方程出发,构造概率流守恒方程。


4) 负概率问题

我们一开始的操作和对薛定谔方程的操作一样,也是分别在K-G方程和它的复共轭两边乘以ψψ,然后两式相减,得到:

2(ψ2ψt2ψ2ψt2)=2c2(ψ2ψψ2ψ)(25.31)

为了量纲统一,我们把左右两边同时乘以和除以一些系数,变成:

i2mc2(ψ2ψt2ψ2ψt2)=i2m(ψ2ψψ2ψ)(25.32)

这个等式的右边,仍然是我们前面得出的概率流密度的散度j,问题在于怎么处理它的左边。

首先,我们可以将左边改写成:

i2mc2(ψ2ψt2ψ2ψt2)=t[i2mc2(ψψtψψt)](25.33)

如果要凑出概率流守恒方程,我们就不得不将上式右边方括号中的内容定义为概率密度ρ,也就是:

ρ=i2mc2(ψψtψψt)(25.34)

没错,这就是K-G方程语境下的概率密度的定义,虽然它看起来很奇怪,但这个定义满足概率流守恒,而守恒流是一个更基本的原则,所以我们在理智上必须接受这个定义。

当然,这只是在理智上接受。心理上,我们仍然会有不适感,仍然会忍不住质问:

这个定义是个啥玩意儿?那个简单直观又好看的ρ=ψψ藏到哪里去了?

实际上,我们稍加推导,就能找到这个新定义和我们熟悉的旧定义之间的联系。

如果我们考察某个能量本征态ψ以及它的共轭的时间导数,我们将得到:

{iψt=ˆHψ=Eψiψt=ˆHψ=Eψ(25.35)

将这两项代入式25.34,概率密度就变成了:

ρ=12mc2(ψEψψEψ)=Emc2ψψ=±γψψ(25.36)

于是我们看到,我们熟悉的那个概率密度又回来了,只不过多了一个相对论因子γ=11v2/c2(前面加正负号是因为能量可能有负值),这也正好说明了,新定义具有某种相对论效应在里面。

而当粒子的速度vc时,如果对能量取正能解,就退化到了非相对论情况下的近似定义:

ρψψ(25.37)

这样,我们也从直观上看到了新定义的“合理性”,可以放心大胆地认为,它的确代表了K-G方程下的概率密度。

但接受这个定义后,我们马上会面临一个关键问题:新定义的概率密度可能出现负值。

我们可以从两个角度去理解这个事实:

首先,在我们刚刚推导出的关系式ρ=Emc2ψψ中,我们已经发现,由于能量有正负两种解,因此这个概率密度也必然有正负两种可能;

这个理解方式很直观,但我们很难从中发现解决负概率问题的有效办法(因为我们后面会看到,在相对论性的量子力学方程中,负能解其实没有办法避免)。

另一种理解方式,需要回到ρ=ψψtψψt这个定义中考虑:

由于K-G方程是一个对时间的二阶微分方程,需要用到ψ(0),ψt(0)两个初始条件信息,而这两个初始条件是任意的,因此不能保证ρ=ψψtψψt一定为正。

如果我们能让方程变成对时间求一阶导,那么我们在构造概率流密度的时候,仍然可以像薛定谔方程一样,将概率流守恒方程左边构造成t(ψψ)的形式,这样,我们仍然能得到一个正的概率密度(因为ψψ=|ψ|2必然是正数)

那么,该怎么构造一个对时间求一阶导的方程呢?我们先来探个路。


5) 构造新方程的思路

对时间求一阶导,也就意味着能量关系式中能量应该以一次方、而不是平方的形式出现。

这样一来,我们似乎又要回到老路上,给能量开平方:

E=±p2c2+m2c4(25.2)

但我们在本课开头已经看到,这个方子既不好用也不好看。

那我们干脆异想天开一下,考虑有没有这种可能,存在系数AB,使得:

E=Amc2+Bpc(25.38)

且同时有:

E2=(Amc2+Bpc)2=m2c4+p2c2(25.39)

如果有这样的好事,我们既能得到一个一阶方程,又能避免开根号的麻烦,还能保持方程的协变对称性。

这看起来很荒谬,因为哪怕去问一个初中生,他都会一脸不屑地告诉我们,如果:

m2c4+p2c2=(Amc2+Bpc)2=A2m2c4+B2p2c2+2ABmpc3(25.40)

那么我们会得到A=B=1,从而发现最右边第三项(交叉项)无论如何都不可能消掉。

但问题是,我们已经不是初中生了,所以我们也许会找到更多的办法?

一位不世出的天才告诉我们:有。

他告诉我们:你们刚才算得太快了,省略了关键的一步,现在我帮你们补上吧:

(Amc2+Bpc)2=A2m2c4+B2p2c2+(AB+BA)mpc3(25.41)

如果A,B是两个普通的复数,那么我们会有:

AB+BA=2AB0(25.42)

但……如果它们是矩阵呢?

我们先把这个悬念放到后面,现在还是回头来看看K-G方程的最后一个问题。


6) 自旋信息问题

我们在第23课中看到,造成原子能级“天然”分裂的旋-轨耦合项,从数量级上看,似乎和相对论有着若有若无的联系。于是当时我们猜想,也许自旋的信息能从相对论性的量子力学方程中自然而然地冒出来。

而现在我们已经完成了相对论性的K-G方程的求解,却并没有发现自旋的信息在哪里。

但话又说回来,我们到现在为止,其实也并没有讨论过,一个包含了自旋信息的波函数和方程是什么样子。

下节课,我们就先来看看,如何将自旋信息加入到波函数和方程中去,这会对我们构造新方程产生一次神奇的助攻。


关于封面图:实在找不到恰当的、符合文章意境的配图,就随便用一张以前拍过的风景照吧。


参考

  1. 《量子力学(第四版)》张永德 著,P. 32 以及 P. 38 ~ P. 39

编辑于 2023-01-25 22:10・IP 属地四川

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