PeiLingX
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本文是深度科普系列《从线性代数到量子力学》的一个插曲篇。
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0) 开篇语
量子货币是一个古老的概念，起源于1969年一个哥伦比亚大学研究生Stephen Wiesner写的论文，论文里描述了利用量子力学原理制造一种无法伪造的货币的概念。
不过，这篇论文虽然年代久远，并且籍籍无名地被埋没了十四年才发表，但它却是一把钥匙，一朝面世，就为后来的量子密码的研究打开了一扇大门。
而且，作为量子密码的初始版本，量子货币的思想可谓简单易懂却又不失美妙，实在是一个不可多得的上佳科普素材，正好最近的深度科普系列为此作了铺垫，就拿来作为一个番外了。
这里要特别说明的是，作为“从线性代数到量子力学”系列的番外编，作者原打算延续深度科普的风格，直接从电子的自旋态说起。但写到一半时，突然想起去年六月答应过一个文科出身的哥们儿，要写一篇他也能看懂的关于量子力学应用的科普文。
于是作者决定将本文写成两个版本：1) 说人话版 和 2) 不说人话版。
其中“说人话版”是用正常人能看懂的语言写成的，算是拖稿半年后给那位文科哥们儿的一个交待，同时也希望能让更多的读者理解量子货币思想的精妙；
而“不说人话版”，是以本系列第4、5篇介绍的电子自旋量子特性为基础展开的。
属于正常人类的读者，请看第1节的“说人话版”(想看“不说人话版”自虐一下也可以 )；
自认为属于非正常人类的读者(读过本系列前5篇或有一定量子力学入门知识的同学 )，可以直接Ctrl+F找到第2节的“不说人话版”(想看“说人话版”找点乐子也可以 )。
如果不确定自己属于哪个类别的话，就干脆全文都看了吧，反正宅在家里时间一大把。
1) 说人话版
关于量子货币的原理，我们先来一段正经但是很烧脑的描述，看看各位能不能理解：
在钞票上放置多个微观粒子(比如说电子 )，每个粒子在钞票出厂时设定了一个特定的量子态，验钞时需要验证的就是这个量子态，并且有至少两种不同的验证方式。
需要验证这张钞票真伪时，验证者会将钞票的序列号(这是印在钞票上的公开信息 )发回给银行，银行根据序列号发送一组验证方式，告诉你怎么去验证每个粒子的状态。
如果验证方式和每个粒子的量子态都“匹配”(后面将解释什么叫做“匹配” )，那么每个粒子的验证结果一定为真，于是你就知道这是一张真钞。
如果验证方式和某个粒子的量子态“不匹配”，那么这个粒子的验证结果将变得随机，可能真，也可能伪，而只要有一个粒子出现了“伪”的结果，机器就会报错，告诉你验证失败。
好了，看到这里，相信各位一定一脸懵圈：
什么是量子态？什么叫“验证方式和量子态匹配”？为什么“不匹配”时验证结果是随机的？
接下来作者就要用通(Hu)俗(Shuo)易(Ba)懂(Dao)的语言来解释这些疑问了。
为了形象化理解，我们学一下薛定谔薛老爷子，把微观粒子比喻成一只具有量子特性的猫。
由于它是一只量子猫，它自然就有一些匪夷所思的量子特性：
特性一：它有两只耳朵和一条尾巴(这句话是废话，和量子不量子没关系 )；
特性二：我们不能同时看到它的耳朵和尾巴(这是一条关键信息，也是量子测量的一个特质 )；
特性三：如果我们不去看它的耳朵，那么它的耳朵对我们来说就是一个不确定状态，可能是竖起来的，也可能是塌下去的；
而如果我们不去看它的尾巴，它的尾巴也是不确定状态，可能是长的，也可能是短的；
(虽然这句话听起来可能有点哲学味道，但相信我，这和哲学没有半毛钱关系 )
特性四：当我们看完它的耳朵后，就明确了耳朵是竖的还是塌的，这时只要我们不去看它的尾巴，那么我们无论重复看它的耳朵多少次，都会看到同样的结果，也就是耳朵具有确定状态；
对于尾巴也是一样，只要我们看完尾巴之后不去看耳朵，那么尾巴的长短就是确定的，无论重复看多少次都不会变；
而接下来的特性五，将是这只量子猫最诡异也最重要的性质：
特性五：如果它的耳朵处于确定状态，那么它的尾巴就会处于不确定状态；同样，它的尾巴处于确定状态，那么它的耳朵就会处于不确定状态。
怎么理解这句话呢？我们来举个例子：
假设，我们先看了一眼这只猫的耳朵，发现它的耳朵是塌下去的，这时耳朵的状态就确定了；
然后我们去看它的尾巴，这时会随机看到长尾巴和短尾巴的结果，假设这次看到的是长尾巴吧，这时候尾巴的状态就确定了；
但接下来，我们再去看它的耳朵时，却发现结果又变得随机，也就是我们看到的耳朵可能是塌的、也有可能是竖的(而不一定是前面看到的塌耳朵 )，观察到两种结果的概率各占一半；
而我们看完耳朵再去看尾巴时，又会发现，这次尾巴也可能长可能短了，两种结果的概率也是各占一半。
好了，例子举完了，作者也不在这里解释为什么会这样，总之各位记住这是一只无法解释的量子猫，上面说的都是微观粒子量子特性的一个形象比喻就行了。
(当然，我们其实可以用一种美妙的数学形式去描述它，想要知道的同学，请将本系列前5篇读一遍，读之前请确保你还记得一点线性代数知识 )
而如果将量子猫装进一个黑盒子，集成到一张钞票上，就能做一张不可伪造的量子货币了。
接下来，我们就来聊一聊这个量子货币的防伪原理。
先来看一个简单版本：只有一只猫的量子货币。
假设，央行在发行某张钞票时，在上面集成了一个黑盒子，里面放了一只量子猫。
而验钞机验证这张钞票时，会在它的耳朵和尾巴当中选择一个进行观察(后面会细讲 )。
同时，央行事先约定：
如果验钞机选择验证猫的耳朵，并且验证结果为竖耳朵时，判定为真(TURE)，结果为塌耳朵则判定为伪(FALSE)；
如果验钞机选择验证猫的尾巴，并且验证结果为长尾巴时，判定为真(TURE)，结果为短尾巴则判定为伪(FALSE)。
那么，验钞机如何选择是验证耳朵还是验证尾巴呢？这就和量子货币的设置方式有关了。
前面我们提到，猫的耳朵和尾巴不能同时处于确定状态，一个确定了，另一个就不确定。于是真钞出厂时，发行人会随机选择，是把猫耳朵设置为确定状态，还是把尾巴设置为确定状态。
我们假设这张钞票是把耳朵设置成了确定状态吧，并且根据前面的真值约定，将耳朵设置成竖耳，也就是对应结果为真(TRUE)；
(我们可以利用特性五，通过多次交替进行“看耳朵”和“看尾巴”的动作来实现，因为这波操作下，“看尾巴”的动作会使耳朵的状态一直随机变化，直到我们得到竖耳朵的结果为止 )
而耳朵状态确定的情况下，根据前面提到的特性五，它的尾巴就处于不确定状态。
然后，发行人会生成这张钞票的序列号，比如SN18870812吧，并且同时生成相应的条码。
完成这些步骤之后，这张钞票就带着序列号、猫的状态、以及面额等信息出厂流通了。
不过要特别说明的是，钞票出厂时，黑盒子里猫的状态是对外保密的，但钞票的序列号是公开可以看到的(因为后面验钞要用 )。
接下来，有人收到了这张钞票，想验证它的真伪。
他手里有一台量子验钞机，这台验钞机有一个扫码器和一个测量仪，并且和银行联网。
他将钞票塞进机器，让序列号条码对准扫码器，装了猫的黑盒子对准测量仪。
然后验钞机开始工作了：
首先，验钞机上的扫码器会读取序列号条码，将序列号SN18870812发送给银行；
然后，银行根据序列号，秘密地发送一条指令给验钞机：应该观察猫的耳朵。
根据前面提到的特性四，我们可以判断，当猫的耳朵处于确定状态时，无论多少次去观察它的耳朵，都会得到同样的结果。
所以，对于这张真钞，验证结果毫无疑问，百分之百会是“竖耳朵”。
这时，验钞机会告诉你，这是一张真钞，同时可能还会放出一段悦耳的童声：“量子老虎、量子老虎，跑得快，跑得快，一只没有耳朵，一只没有尾巴，真奇怪，真奇怪……”
对了，写到这里，我们也能理解前面介绍量子货币原理时说的“验证方式和量子态匹配”的意思了：如果猫的耳朵处于确定状态，那么“观察耳朵”这个验证方式就和它的状态“匹配”。
现在我们来思考一下，如果有人造了一张假币，结果会如何？
首先，我们要知道，在信息未被泄露或盗取的情况下，伪造者不可能通过任何手段知道真钞上那只猫的出厂设置(这个我们后面再解释为什么 )，只能胡乱猜。
现在，我们假设伪造者伪造了一张序列号为SN18870812的面值二百五十万元的巨额钞票，可惜他运气不好，把出厂设置猜错了，猜成了猫具有确定的尾巴，于是他将猫设置为“具有一条长尾巴的猫”(长尾巴也对应真值(TURE) )。
但他还是决定去碰碰运气，就带着这张假钞，跑到4S店，打算买一辆迈巴赫。
4S店的小姐姐第一次看到有人用一张面值二百五十万元的巨额现钞来买车，不敢怠慢，赶紧把客人请到贵宾房享受VIP服务，然后拿着这张钞票去验真伪。
验钞机照例读取了条码，把序列号发回给银行，银行发回指令：验证猫耳朵的状态，于是验钞机开始观察猫耳朵。
此时我们知道，由于伪造者将猫尾巴设置为确定的状态，所以猫耳朵的状态就是随机的，于是验钞机可能得到“竖耳朵”的结果、也有可能得到“塌耳朵”的结果。
假设这次此人继续倒霉，验钞机观察猫耳朵后，得到了塌耳朵(FALSE)的结果，判定为假钞。
那么验钞机就会发出一串刺耳的警报声，同时可能还会放出一串事先录好的、来自朝阳区大妈的愤怒、焦躁而高亢的语音，在4S店空旷的大厅中回荡：
“这是假币！别让丫跑了！这是假币！别让丫跑了……”
以上就是量子货币的防伪原理。
不过，这里有个问题可能有同学已经想到了：
造假币的人猜错猫的状态(把“猫具有确定的耳朵”猜成“猫具有确定的尾巴”)的概率只有1/2；而且，即使他猜错了，最终验证得到FALSE的结果(塌耳朵 )的概率也只有1/2。
如此算来，如果钞票上只放了一只量子猫，那么他只有1/4的概率被发现造假，而有3/4的概率蒙混过关，这其实是一件值得赌一把的事情。
那这个局怎么破呢？给大家一炷香时间来猜一猜……
这是一炷香
一炷香时间到，现在公布答案：方法很简单，在钞票上多放几只量子猫。
简单计算就可以知道，对于伪造者而言，如果钞票上放了n只量子猫，那么他制造的伪钞最终验证通过的概率就是3/4的n次方。
假设我们放了100只量子猫，那么他制造的伪钞最终成功花出去的概率，就会降低至0.00000000000032，这基本上就可以断了他造假的念头了。
不过，细心的同学还会想起，我们刚才留了另外一个问题等着填坑：
为什么伪造者不可能通过任何手段来知道量子猫状态的出厂设置？
我们还是回到只有一只量子猫的版本来解释：
首先，我们知道，由于出厂设置的信息是完全保密的，那么他唯一的办法，就是亲自打开黑盒子，看一看猫的状态。
但问题是，他并不知道应该看猫的耳朵还是猫的尾巴。
一旦他选错了观察对象，比如他选择了看猫的尾巴，那么猫的耳朵就变成了不确定状态，这样他不仅得不到正确的出厂设置信息，还把猫的出厂设置破坏了，这张真钞也可能作废。
而且，即使他选对了观察对象，看到了猫的耳朵是竖起来的，他也不知道这是不是本来的出厂设置，因为有一个他无法排除的可能是：出厂设置本来是“长尾巴”，只是因为他选择了观察耳朵，并且随机得到了“竖耳朵”的结果。
关于“说人话版”的量子货币原理，到这里就说完了。
如果想知道如何用真实的粒子(而不是那只隐喻意义的猫 )实现量子货币，请进入第2节的“不说人话版”。
不想看的，请直接跳到第3节结束语部分，那几句话里也许还有你想知道的一些疑问。
2) 不说人话版
欢迎来到“不说人话版”，阅读之前，请确保你已经读过本系列前5篇内容、或者已经对量子力学的原理有了一些入门级别的了解，并且理解了电子自旋的概念和它的量子特性。
在这个前提下，我们这个版本将不会有“人话版”那样冗长的背景介绍和比喻，我们将用简洁高效的量子力学语言，来快速说清楚量子货币的防伪原理。
量子货币防伪的关键，其实就是在钞票上集成一个或多个装有微观粒子的黑盒子，然后通过测量它的状态来实现真伪辨别。
这个微观粒子可以是电子(利用电子的自旋 )、光子(利用光子的偏振态 )或其他基本粒子。
在本文的例子中，我们就用电子的自旋来说明问题。
为了简单起见，我们先说只有一个电子的单电子版本。
首先，钞票在出厂前，会事先设置好电子的自旋态，比如，印钞机可以随机选择 $\left|y_+\right>$,$\left|z_+\right>$ 二者中的一个，我们在这里就假设印钞机选择了 $\left|z_+\right>$ 吧。
需要说明的是，这个信息是保密的。
同时，钞票出厂时，会生成一个公开的序列号，比如SN18870812，同时生成相应的条码。
这样，一张量子现钞上面就带了两个信息：
- 钞票的序列号(这是印在钞票上能看到的 )
- 电子的自旋态(这是保密的 )
那么接下来，我们就来看看，这张钱被花出去时，收钱的人如何验钞？
假设，收钱人有一台量子验钞机，这台验钞机有一个扫码器和一个测量仪，并且和银行联网。
验钞时，收钱人将钞票塞进机器，让序列号条码对准扫码器，黑盒子对准测量仪。
然后验钞机开始工作：
首先，验钞机的扫码器会读取钞票上的序列号条码：SN18870812；
然后，验钞机自动将读取的条码发送至银行，此时银行会根据条码，反馈一条指令给验钞机，告诉它需要验证的自旋方向。
在我们的例子中，我们知道，这张钞票上电子的出厂设置为 $\left|z_+\right>$ ，所以银行会给验钞机发送“验证 z 方向自旋”的指令，这整个过程都是保密的；
最后，验钞机按照银行的指令测量电子的自旋态，判断真伪。
对于这张真钞而言，由于自旋态为$ \left|z_+\right> $，是 z 方向自旋的本征态，所以测量结果一定是 +z 方向。
而我们事先规定了正方向为TRUE、负方向为FALSE，于是验钞机就会不出任何差错地验出，这是一张真钞。
那如果是一张假钞，会发生什么情况呢？
首先，我们要知道，伪造者不可能复制真钞的电子自旋态。
因为出厂时的设置保密决定了，伪造者想要知道真钞的电子自旋态是 $\left|y_+\right> $还是 $\left|z_+\right>$ ，就必须找到一张真钞，对其中的电子自旋方向进行测量；
然而，令人悲伤的是，即使他找到了一张真钞，找来仪器测量了电子的自旋态，他也不能确保自己一定能得到正确结果(这个后面解释 )。
所以他就只能胡乱猜了。
现在，我们假设伪造者伪造了一张序列号为SN18870812的面值二百五十万元的巨额钞票，可惜他运气不好，把出厂设置猜错了，猜成了 $\left|y_+\right>$ 。
但他决定去碰碰运气，就带着这张假钞，跑到4S店，打算买一辆迈巴赫。
4S店的小姐姐第一次看到有人用一张面值二百五十万元的巨额现钞来买车，不敢怠慢，赶紧把客人请到贵宾房享受VIP服务，然后拿着这张钞票去验真伪。
验钞机照例读取了条码，把序列号发回给银行，银行发回指令：验证 z 方向自旋，于是验钞机开始了它的测量……
而我们知道，由于 y 方向自旋的本征态 $\left|y_+\right>=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|z_+\right>-\frac{1}{\sqrt{2}}\left|z_-\right> $，是 z 方向自旋两个本征态的叠加，所以验证结果将有一半可能得到 $\left|z_+\right>$ ，还有一半可能得到 $\left|z_-\right> $。
假设这次此人继续倒霉，验钞机测量完毕之后，得到了 $\left|z_-\right>$ (FALSE)的结果。
那么验钞机就会发出一串刺耳的警报声，同时可能还会放出一串事先录好的、来自朝阳区大妈的愤怒、焦躁而高亢的语音，在4S店空旷的大厅中回荡：
“这是假币！别让丫跑了！这是假币！别让丫跑了……”
以上就是量子货币的防伪原理。
不过，这里有个概率问题应该有同学已经想到了：
造假币的人猜错电子自旋态的概率只有 $\frac{1}{2} $，而且，即使他猜错了，最终验证得到FALSE的结果( $\left|z_-\right>$ )的概率也只有 $\frac{1}{2}$ 。
如此算来，如果钞票上只放了一个电子，那么他只有 $\frac{1}{4}$ 的概率被发现造假，而有 $\frac{3}{4}$ 的概率蒙混过关，这其实是一件值得赌一把的事情。
那这个局怎么破呢？答案很简单，有同学可能马上想到了：就是在钞票上多放几个电子。
简单计算就可以知道，对于伪造者而言，如果钞票上放了 n 个电子，那么他制造伪钞后最终验证通过的概率就是 $\left(\frac{3}{4}\right)^n$ 。
假设我们放了100个电子，那么他制造伪钞并最终成功花出去的概率就会降低至0.00000000000032，这基本上就可以断了他造假的念头了。
到这里，关于量子货币的原理就说得差不多了……不对，好像还有个事情没交代，是啥来着？
想起来了，是为什么伪造者企图伪造量子货币时，即使自宫也未必成功……口误，是即使测量真钞的电子自旋态，也不能确保得到正确的结果。
我们还是用那张出厂设置为 $\left|z_+\right>$ 的单电子版本的量子钞票来解释。
首先，我们不难知道，对于一个伪造者而言，即使他拿到了一张真钞，他也不知道应该测量哪个方向的自旋，来确定真钞的电子自旋态。
假设他测量了 z 方向结果，那么他将百分之百得到 $\left|z_+\right>$ 的结果，但他无法区分这个 $\left|z_+\right>$ 是出厂设置时本来设置好的，还是原本出厂设置成了 $\left|y_+\right>$ 、被他测量后随机坍缩到了 $\left|z_+\right>$ 。
而假设他测量了 y 方向自旋，那么他将分别有一半概率得到 $\left|y_+\right>$ 或 $\left|y_-\right>$ 。假如测量结果是 $\left|y_+\right>$ ，他将同样无法判断这是不是出厂设置。更要命的是，这样做他就把出厂设置彻底破坏了，把真钞变成了伪钞，自己却仍然一无所获，这就是“即使自宫未必成功”的道理。
而只有他运气好、得到 $\left|y_-\right>$ 的结果时，他才能百分之百确定出厂设置一定不是 $\left|y_+\right>$ ，而只能是 $\left|z_+\right>$ ，这样的情况下，他才可以通过牺牲一张真钞来伪造多张伪钞。
所以，他正确得到单电子钞票出厂设置信息的概率是 $\frac{1}{4}$ ，而如果是集成了 n 个电子的量子钞票，那这个概率就是 $\left(\frac{1}{4}\right)^n$ ，随着 n 的增大，就变得几乎不可能破解了。
3) 结束语
关于量子货币的原理，到这里就说完了，但其实我们还有两个与原理本身无关的问题要回答。
第一个问题是：它在物理上能实现吗？
虽然量子货币以及量子加密的想法在数学上理解起来都不是很困难，但它的物理实现，却还远没有达到可以大规模应用的地步，所以目前的量子还停留在半理论状态。
第二个问题是：它有现实应用的意义吗？
我们知道，量子货币的出现已是50年前的事情，而现在现钞用得越来越少，这个玩意儿以后似乎也没有载体了，但不必灰心，我们说不定还能期待将它用在一些贵重的收藏品上。
而且，由它发展出来的量子密码学，更是未来加密技术的终极手段(以后有机会我们可以再聊聊量子加密…… )。
话说回来，即使它没有任何实质性的用途，对于我们这群理工男/理工女而言，这样的思考本身也是一件美妙的事情，不是吗？
编辑于 2021-11-30 13:22