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本文是深度科普系列《从线性代数到量子力学》的第5课。
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0) 前情提要
在本系列的前3课中，我们通过几个虚构的思想实验，理解了量子力学特有的叠加态，并对不确定性原理进行了一次初体验。
而在第4课中，我们来到了真实的物理世界，回顾了量子力学史上最重要的实验之一：斯特恩-盖拉赫(Stern-Gerlach)实验(以下简称SG实验 )。
这个实验通过对银原子磁矩的探测，向我们展示了量子叠加态的真实存在。
但第4课介绍的，还仅仅是SG实验的“单机版”，而本文将继续介绍SG实验更为精彩的“联机版”：级联SG实验。
我们会发现，两个或多个SG实验装置串联到一起之后，会有更神奇的现象发生。
1) 级联SG实验：版本1.0
我们知道，单机版SG实验中，银原子分成了上下两束，说明测量银原子 $\small z$ 方向自旋时，原本处于叠加态的银原子状态，随机落到了两个本征态上。
我们将自旋磁矩为 $\small +z$ 方向和 $\small -z$ 方向的银原子所在的本征态分别记为 $\small \left|z_+\right> $ 和 $\small \left |z_- \right> $
现在，我们将原来单机版实验装置中的接收屏撤掉，让其中处于 $\small \left|z_+\right>$ 态的银原子(也就是向上走的那一束银原子 )继续往前走。
接下来，我们在这束银原子的前进方向上，放置另一个一模一样的SG实验装置，这个装置仍然具有沿着 $\small z $方向变化的磁场(后文中，我们将 $\small z$ 方向变化磁场的SG装置记为 $\small \text{SG}_z $)。
为了方便表示，我们将上述实验装置化成抽象图：
现在问题来了：这束 $\small \left|z_+\right>$ 的银原子通过这个新的 $\text{SG}_z $装置后，它还会不会分成两束？
经典直觉告诉我们：这束银原子具有确定的磁矩方向，即 $\small +z $方向，所以它们通过第二个 $\small \text{SG}_z$ 装置时，依然会向上偏转。
而事实的确也是如此。
(就像我们在第3课的量子糖思想实验中看到的那样，当我们尝了一次量子糖的味道之后，只要闭上眼睛不去观察它的颜色，那么无论我们多少次将量子糖放进嘴里重复品尝，它的味道都不会变 )
只不过，这里所说的“确定的磁矩方向”，其实已经不是经典意义上的“确定”了，而应该从叠加态的角度去解释。
我们在第4课中已经知道，当我们去测量银原子在 $\small z$ 方向的自旋磁矩时，随机得到的两个结果，就是这个“ $\small z $方向自旋磁矩”对应的两个本征态，即$\small \left|z+\right>$ 和 $\small \left|z-\right>$
而我们在第1课就已经知道，一个对象的任意量子态，都可以表示成某个物理量对应的一组本征态的叠加。
用线性代数语言来说就是：任意向量都可以表示成某个线性算子的一组完备特征向量(也就是一组完备基底)的线性组合。
所以，银原子的任意量子态 $\small \left|\psi\right>$ ，也都可以表示成两个本征态的叠加：
$\small \left|\psi\right>=k_{z+}\left|z_+\right>+k_{z-}\left|z_-\right> \quad\scriptsize{(式5.1)}$
其中两个系数满足：
$\small \left|k_{z+}\right|^2+\left|k_{z-}\right|^2=1 \quad\scriptsize{(式5.2)}$
这对本征态本身也成立，比如对于处于 $\small \left|z_+\right> $的银原子，它的状态就是：
$\small \left|z_+\right>=1\left|z_+\right>+0\left|z_-\right> \quad\scriptsize{(式5.3)}$
而根据我们在第2课中看到的系数的物理含义可知，系数的模方 $\small \left|k_{z+}\right|^2$ 和 $\small \left|k_{z-}\right|^2$ 分别对应着测量 $\small z $方向自旋磁矩时、得到结果 $\small \left|z_+\right>$(即SG实验中向上偏转的银原子 )和 $\small \left|z_-\right>$ (SG实验中向下偏转的银原子 )的概率。
于是，对于已经处于本征态 $\small \left|z_+\right>$ 的银原子而言，当我们再去测量它在 $\small z $方向上的自旋磁矩时，它继续坍缩到本征态 $\small \left|z_+\right>$ 的概率就是1，而变成本征态 $\small \left|z_-\right>$ 的概率就是0。
体现在实验中就是：原来向上偏转的银原子束，通过第二个 $\small \text{SG}_z $装置后，仍然全部向上偏转，没有例外。
有了这种叠加态的思维，我们才能比较顺畅地理解下一个版本的联机实验。
2) 级联SG实验：版本2.0
这是级联SG实验中最重要的一个版本。
在这个版本中，我们将再次看见不确定性原理的影子。
首先，我们仍然从单机版的 $\small \text{SG}_z $ 装置中筛选出 $\small \left|z_+\right>$ (自旋磁矩为 +z 方向 )的银原子，并且撤去接收屏，让这束银原子通过一个通过磁场沿 $\small y $方向的SG实验装置，记为$ \small \text{SG}_y$
实验的抽象图如下：
接下来，请各位猜一猜：处于 $\small \left|z_+\right>$ 状态的银原子，通过 $\small \text{SG}_y $装置后，会发生什么事情？
按照经典直觉，进入磁场的银原子具有确定的磁矩方向 $\small +z $，而 $\small \text{SG}_y$ 装置中，磁场方向以及变化方向都是 $\small y$ 方向，磁矩 $\small \boldsymbol\mu$ 和磁感应强度梯度方向的夹角 $\small \frac{\pi}{2}$ ，于是银原子受到的磁场力大小为：
$\small F=\mu_z\frac{\partial B_y}{\partial y}\cos{\frac{\pi}{2}}=0 \quad\scriptsize{(式5.4)}$
这意味着，银原子会在$ \small \text{SG}_y $装置的磁场中直来直去，不发生在 $\small y $方向上发生任何偏转。
但实际结果却是，银原子又分裂成了两束，一束朝 $\small +y$ 方向偏转，另一束朝 $\small -y $方向偏转！
也就是说，原本自旋磁矩处于 $\small +z$ 方向的银原子，通过 $\small \text{SG}_y $装置后，自旋磁矩方向发生了惊天大转弯，变成了 $\small +y$ 或 $\small -y$ 中的一个。
并且，如果我们将 $\small \left|y_+\right> $ 和 $ \small \left|y_-\right> $两束银原子的数量分别数一遍，会发现它们大致相等。
是的，这必须又要用叠加态来解释了。
我们知道，“ $\small z $方向磁矩”具有两个本征态 $\small \left|z_+\right>$ 和 $\small \left|z_-\right>$ ，而“测量 $\small y$ 方向磁矩”也有两个本征态 $\small \left|y_+\right>$ 和 $\small \left|y_-\right>$ ，也就是银原子束通过 $\small \text{SG}_y $后分裂成的两束分别对应的量子态。
于是，我们可以将版本2.0的SG实验结果转换成量子语言：
对 $\small \left|z_+\right>$ 态的银原子，如果去测量它的 $\small y$ 方向磁矩，那么银原子的状态会随机坍缩到 $\small \left|y_+\right> $和 $\small \left|y_-\right>$ 中的一个；
而 $\small \left|y_+\right>$ 和 $\small \left|y_-\right>$ 两束银原子的数量大致相等，就意味着，对 $\small \left|z_+\right>$ 态的银原子，测量 $\small y$ 方向磁矩时，坍缩到$ \small \left|y_+\right> $和 $\small \left|y_-\right>$ 的概率是相等的。
还记得我们在第3课的量子糖思想实验中，交替进行“看颜色”和“尝味道”两种行为时，发生的事情以及我们的解释吗？
(不记得的同学，建议先复习第3课内容 )
在这个级联SG实验中，我们可以将“测量 $\small z$ 方向自旋磁矩”类比为“观察量子糖的颜色”，将“测量 $\small y$ 方向自旋磁矩”类比为“品尝量子糖的味道”。
根据量子糖思想实验中的解释方式，我们可以推知： $\small z $方向自旋磁矩处于确定的本征态时，$ \small y $方向自旋磁矩就处于不确定的叠加态 (这里又一次看到了不确定性原理的影子 )。
换句话说就是：“$ \small z$ 方向自旋磁矩”对应的本征态，是“ $\small y $方向自旋磁矩”对应的本征态的线性叠加。
这才是这次级联SG实验结果的正确打开方式。
而根据“ $\small \left|z_+\right> $态的银原子坍缩到 $\small \left|y_+\right>$ 和$\small \left|y_-\right> $的概率相等”这条线索，我们还能推知，将 $\small \left|z_+\right>$ 表示成$ \small \left|y_+\right>,\left|y_-\right>$ 的线性叠加时，系数的模方也是相等的。
于是我们可以进一步猜出它们之间的一种可能的关系：
$\small \left|z_+\right>=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|y_+\right>+\frac{1}{\sqrt{2}}\left|y_-\right> \quad\scriptsize{(式5.7)}$
同时也可以得到：
$\small \left|z_-\right>=-\frac{1}{\sqrt{2}}\left|y_+\right>+\frac{1}{\sqrt{2}}\left|y_-\right> \quad\scriptsize{(式5.8)}$
根据这个关系，我们还可以看出，两组本征态在态空间中的“夹角”是45度。
而我们知道，在“真实物理空间”中， $\small z$ 方向磁矩和 $\small y$ 方向磁矩的夹角是90度。
于是我们又一次看到了在第4课中提到的自旋磁矩“在真实物理空间中的夹角 $\small \theta $”与“在态空间中的夹角 $\small \varphi$ ”之间的倍数关系： $\small \theta=2\varphi$
至于这背后是否有更精妙的数学结构，要到比较遥远的以后再揭晓答案了。
现在我们先记住这个关系就行。如果担心自己记不住，不妨来做个随堂练习巩固一下：
【练习5.1】
假设一个级联SG实验中，第一个装置是 $\small \text{SG}_z$ ，第二个装置的磁场方向再不是 $\small y $，而是$ \small yz$ 平面内一个与$ \small z$ 成 $\small \theta$ 角的方向，将该装置记为 $\small \text{SG}_\theta$ (如图)。银原子通过 $\small \text{SG}_z$ 后分成两束，我们筛选出 $\small \left|z_+\right> $对应的那束银原子，让它们通过 $\small \text{SG}_\theta$ ，并再次分裂成两束，问：通过 $\small \text{SG}_\theta$ 后的两束银原子中，向上偏转和向下偏转的银原子数量占比分别大约是多少？
(答案在文末附录中 )
暂时不想算的同学，可以跟着作者进入下一个版本的级联SG实验，它没有第二个版本那么烧脑，但依然很有意思。
3) 级联SG实验：版本3.0
这是一个有关“前世记忆”的实验，它是这样操作的：
先让银原子通过一个 $\small \text{SG}_z$ 装置，从中筛选出 $\small \left|z_+\right> $那束银原子，让它们通过一个 $\small \text{SG}_y$ 装置，然后从中又筛选出 $\small \left|y_+\right>$ 的银原子，让它们再次通过一个 $\small \text{SG}_z $装置。
这样做是为了看看这些银原子是否还“记得”自己在上次通过 $\small \text{SG}_y$ 前，“曾经”是 $\small \left|z_+\right>$ 。
已经有了量子思维的我们，可以很快得出结论：
通过第二个 $\small \text{SG}_z $装置的银原子，将会再次均匀分裂成两束，因为它们进入第二个 $\small \text{SG}_z$ 装置前，已经处于 $\small \left|y_+\right>=\frac{\sqrt{2}}{2}\left|z_+\right>-\frac{\sqrt{2}}{2}\left|z_-\right> $ 的状态。
也就是说，通过 $\small \text{SG}_y $后落到 $\small y $方向自旋本征态的银原子，就像喝了一碗孟婆汤，忘却了它“前世是 $\small \left|z_+\right>$ ”的记忆，在再次通过 $\small \text{SG}_z$ 时，重新随机选择了自旋磁矩的本征态。
是的，量子世界就是这么绝情却又让人着迷。
4) 结语和预告
通过第4课和第5课的介绍，我们完整地看到了一例发生在真实物理世界中的量子叠加现象，并且再次感受到了不确定性原理的影子。
但“自旋”这个概念还是离我们的经典世界比较遥远，而我们在第1课开头提出的那些疑惑还几乎都没得到解答。
但没关系，通过这几节课的发酵，现在我们已经对态矢量以及它的物理意义有了一点感觉，并且能够通过线性代数在脑中形成关于它的几何图景。
从第6课开始的很长一段旅程里，我们就要用这些刚刚形成的认识，去解开一个个谜团了。
而在进入下一个主题之前，我们还要趁热打铁，利用本课刚刚新鲜出炉的“自旋”的量子性质，来理解量子力学在信息学中的一个重要应用：量子加密。
它的一个最原始也最简单的版本，是一种不可被伪造的货币：量子货币。
欲知详情，请移步番外编：
附录：
练习5.1答案：
向上偏转( $\small \left|\theta_+\right>$ )的银原子占比为 $\small \cos^2{\frac{\theta}{2}} $；向下偏转( $\small \left|\theta_-\right>$ )的银原子占比为$ \small \sin^2{\frac{\theta}{2}}$
(有两位同学同时最先给出正确答案：Andy, RD巨佬；回头会送上小礼物~ )
编辑于 2021-11-30 13:22