物理学等 2 个话题下的优秀答主
本文是深度科普系列《从线性代数到量子力学》的第2课。
了解本系列其他文章，请收藏目录：
0) 前情提要
在第1课中，我们通过“薛定谔的猫”的思想实验，引入了态矢量的概念，打开了量子世界的大门，并且理解了叠加态与经典物理状态之间的联系和区别。
但在第1课结尾，我们留了一个疑问待解答：用态矢量来描述叠加态，看起来更像一种钦定的结论，我们需要更多的佐证，来相信这个模型是“自然、合理的”。
本课中，我们就继续用猫的例子，通过两个假想的物理“事实”来看到这一点。
1) 概率与内积
态矢量的第一个“和向量很像”的性质和概率有关。
在薛定谔猫的思想实验中，我们知道这样一个假想的“事实”：
一旦我们打开盒子观测里面的情况时，猫就不会再处于叠加态，而是会出现一个确切的结果：要么生、要么死。
这个过程称为坍缩(Collapse)，猫的叠加态在观测后，会随机地坍缩到某个确定的本征态。
既然是随机的，那么我们打开盒子时，“发现一只活猫”和“发现一只死猫”两个结果就会各对应一个概率。
这两个概率应该怎么计算呢？
我们回头来看态矢量的线性叠加式子：
$\small \left|\psi\right>= a_1\left|{L}\right>+a_2\left|{D}\right> \quad\scriptsize{(式2.1)}$
在第1课中，我们没有交待两个系数 $\small a_1,a_2$ 的含义，现在我们可以揭晓答案了：
这两个系数决定了打开箱子时发现活猫和发现死猫两种结果各自的概率，也就是测量结果坍缩到两个本征态的概率。
我们先直接给出概率和系数的关系(这里先假设 $\small a_1$ 和 $\small a_2 $都是实数 )：
$\small P(\left|{L}\right>)=a_1^2,\ P(\left|{D}\right>)=a_2^2 \quad\scriptsize{(式2.2)}$
(其中 $\small P(\left|{L}\right>) $和 $\small P(\left|{D}\right>) $分别表示“活猫”和“死猫”两种结果出现的概率 )
而我们知道，一旦进行观测，猫的状态只能是生和死当中的一个，这意味着两者的概率相加得1，因此两个系数还必须满足一个限制条件：
$\small a_1^2+a_2^2=1 \quad\scriptsize{(式2.3)}$
我们将它改写一下，就成了：
$\small \begin{bmatrix}a_1&a_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_1\\a_2\end{bmatrix}=1 \quad\scriptsize{(式2.4)}$
这能让我们联想到什么？一个向量和它自身的内积，像不像？
由于叠加态$ \small \left|\psi\right> $是本征态的线性组合：
$\small \left|\psi\right>= a_1\left|{L}\right>+a_2\left|{D}\right> \quad\scriptsize{(式1.2)}$
而我们在第1课中知道，两个本征态可以被视为一组基底，这样，我们真的就可以将叠加系数自然地写为行向量和列向量的形式：
$\small \begin{bmatrix}a_1&a_2\end{bmatrix} 和 \small \begin{bmatrix}a_1\\a_2\end{bmatrix}$
这样，如果用向量的语言来描述，猫生和猫死的总概率就是态矢量 $\small \left|\psi\right> $与它自身的内积。
而这个内积总是等于1的，这也叫归一化条件 (Normalization Condition)。
而在量子力学中，我们把态矢量 $\small \left|\psi\right> $和它自身的内积记为： $\small \left<\psi|\psi\right>$
这个记号表示的是态矢的两个对偶形式之间内积运算的简写。
第一个形式是 $\small \left<\psi\right|$ ，称为左矢，又叫bra (请不要浮想联翩…… )，在 $\small a_1,a_2$ 都是实数的情况下，可以认为它对应着行向量 $\small \begin{bmatrix}a_1&a_2\end{bmatrix}$ ；
另一个形式就是更常用的 $\small \left|\psi\right>$ ，称为右矢，又叫ket，我们可以认为它对应列向量 $\small \begin{bmatrix}a_1\\a_2\end{bmatrix}$
左矢和右矢其实描述的都是同一个量子状态，就像行向量和列向量都描述同一个向量一样。
不过，当我们讨论一个态矢量的时候，更多地是用右矢来表示，就像我们通常用列向量来表示一个向量一样。
而我们把左矢(bra)和右矢(ket)放到一起，就代表行向量乘以列向量，也就是向量的内积了。
记住，左矢是bra，右矢是kitty……口误，是ket
按照这样的记法，态矢量的归一化条件就可以记为：
$\small \left<\psi|\psi\right>=1 \quad\scriptsize{(式2.5)}$
这里还需要特别说明一个非常重要的数学细节：
量子力学中叠加态的各个系数，通常是一个复数而不是实数。
而我们知道，测量结果中得到各个本征态的概率一定是实数，这就要求我们在复数域重新定义内积。
为了让内积的结果是实数，我们可以将它的定义改写为叠加系数的模方求和，即各系数及其共轭复数相乘后逐项求和：
$\small \left<\psi|\psi\right>=|a_1|^2+|a_2|^2=a_1^*a_1+a_2^*a_2 \quad\scriptsize{(式2.6)}$
对于更一般的情况，这个式子写为：
$\small \left<\psi|\psi\right>=\sum_i{|a_i|^2}=\sum_i{a^*_ia_i} \quad\scriptsize{(式2.7)}$
这就是复数域上的向量内积关系，请一定记住前面要取复共轭。
接下来，我们要来看看态矢量的第二个“和向量很像”的特质。
2) 本征态的正交性
前面我们已经知道，当我们还没打开盒子去观察猫的状态时，猫处于一种生死的叠加态；而一旦我们打开盒子对猫的状态进行了观察之后，它就处于确定的状态，要么生要么死。
而且更有意思的是，一旦完成观察、猫的状态确定后，如果我们不对它做其他观察，它就不可能再跳到另一个状态上了。
比如，假设我们打开盒子后看到猫是活的，那么我们马上再去观察它时，会发现它依然还是活的，也就是说，我们观察到死猫的概率是0.
反过来，如果发现猫已经死了，那么它复活的概率也是0. (毕竟猫死不能复生…… )
似乎进行观察之后，我们就一夜回到了经典世界，再也与量子世界无缘。
但实际上，观察后的确定性现象，仍然可以用量子力学语言、或者说向量的语言来解释。
再说得具体一点，是用向量的正交性来解释。
首先，我们还是来回顾一下线性代数里学过的向量内积的一条性质。
我们知道，给定一组标准正交基底 $\small {\boldsymbol e_i}$ 后，某向量可以表示成：
$\small \boldsymbol\alpha=\sum_{i}{a_i\boldsymbol e_i} \quad\scriptsize{(式1.4)}$
而这里的组合系数 $\small a_i $可以表示为$ \small \boldsymbol\alpha $与各基底的内积，即：
$\small a_i=\left<\boldsymbol\alpha,\boldsymbol e_i\right> \quad\scriptsize{(式2.8)}$
这在几何直观上其实就是向量 $\small \boldsymbol\alpha $在基底 $\small\boldsymbol e_i $上的投影长度。
而不同基底之间的正交性，意味着任意两个不同基底的内积为0，即：
$\small \left<\boldsymbol e_i,\boldsymbol e_j\right>=0\quad(i\neq j) \quad\scriptsize{(式2.9)}$
这也意味着不同的正交基底之间相互投影的长度为0.
现在我们回到量子力学世界。
我们把态矢量的内积做一个扩展，定义两个不同态矢量 $\small \left|\psi\right>$ 和 $\small \left|\phi\right>$ 的内积，记为 $\small \left<\psi|\phi\right>$ 或 $\small \left<\phi|\psi\right>$
(注意，在复数域上，$ \small \left<\psi|\phi\right> $和 $\small \left<\phi|\psi\right> $并不相等，而是互为复共轭 )
当我们给定一组基底 $\small {\left|e_i\right>}$ 时，我们可以将一个态矢量 $\small \left|\psi\right> $表示为它们的线性组合：
$\small \left|\psi\right>=\sum_i{a_i\left|e_i\right>} \quad\scriptsize{(式2.10)}$
而类比到线性代数中的例子，我们知道，这里的组合系数也等于 $\small \left|\psi\right>$ 与基底的内积：
$\small a_i=\left<e_i|\psi\right> \quad\scriptsize{(式2.11)}$
(注意，这个内积是基底在左边，如果交换两者的位置，将会得到 $\small a_i $的复共轭 )
接下来，我们回到猫的例子。
前面我们说到，“活猫”和“死猫”对应的两个本征态 $\small \left|L\right>$ 和$ \small \left|D\right>$ 也是一组正交基底，没打开盒子时，猫的死活对于观察者而言处于叠加态：
$\small \left|\psi\right>=a_1\left|L\right>+a_2\left|D\right> \quad\scriptsize{(式1.2)}$
而根据前面提到的内积性质，我们又知道：
$\small a_1=\left<L|\psi\right>,\ a_2=\left<D|\psi\right> \quad\scriptsize{(式2.12)}$
现在我们来看看观察后的状态。
假设我们打开盒子观察后，发现猫还活着，那么这时候猫的状态就落到了本征态 $\small \left|L\right>$ 上。
而我们知道，这时候再观察到死猫的概率就是0了，于是我们可以得到：
$\small \left|L\right>=1\left|L\right>+0\left|D\right> \quad\scriptsize{(式2.13)}$
这其实也就对应了两个本征态的正交性：
$\small \left<D|L\right>=0 \quad\scriptsize{(式2.14)}$
也就是说，打开盒子被观测后的猫，“退化”到经典世界的现象背后，隐藏的也是一种典型的向量性质。
至此，通过上面两个例子，那个不可捉摸的叠加态是不是越看越像一个向量了？
(处于剧情需要，请回答“是” )
3) 总结与预告
关于态矢量的介绍到此就暂告一段落了。
进入下一课前，我们先来对前两课做个简单的回顾：
首先，我们用薛定谔的猫的例子，导出了量子力学中最根本的对象：态矢量，以及用来表示它的狄拉克符号。
然后，我们通过与二维平面上的向量的类比，介绍了本征态和态空间的概念，并且通过态矢量的取值范围，体验了量子力学与经典力学的根本不同。
到了本课中，我们又解释了态矢量的线性叠加系数的概率意义，将它与线性代数的内积、正交性联系起来。
物理现象与这些线性代数概念之间的这些联系，让我们愈发感觉到，用向量描述量子状态的想法是自然而顺畅的。
接下来，我们就要带着态矢量这把新钥匙，去尝试理解量子力学的理论体系，并且逐个解开我们在第1课开篇中提到的那些疑惑。
比如我们即将在下节体验的，就是如何利用态矢量的概念去初步感受一下不确定性原理 (Uncertainty Principle)。
但为了防止喵星人大规模报复，在第3课中，我们将停止虐猫行为，去虚构另一个思想实验，依然用一种不那么严谨、但直观易懂的方式去理解。
好了，我们下节课见。
编辑于 2021-11-30 13:20